Solidna mechanika ze skończonymi różnicami: jak obsługiwać „węzły narożne”?

Mam pytanie dotyczące kodowania warunków brzegowych dla mechaniki bryły (elastyczność liniowa). W szczególnym przypadku muszę użyć różnic skończonych (3D). Jestem bardzo nowy w tym temacie, więc być może niektóre z poniższych pytań mogą być bardzo podstawowe.

Aby doprowadzić do mojego konkretnego problemu, przede wszystkim chcę pokazać, co już zaimplementowałem (aby to wyjaśnić, użyję tylko 2D).

1.) Mam następującą dyskretyzację $div(\sigma) = 0$ , pokazującą pierwszy składnik dywergencji $\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$:

Używam siatki bez stopniowania, więc Ux i Uy są zdefiniowane w tym samym miejscu.

2.) Kolejnym krokiem było potraktowanie granic, w których używam „węzłów duchów”. Zgodnie z $\sigma \bullet n = t^*$ , gdzie $t^*$ jest naprężeniem na granicy.

$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Myślę, że do tej pory wszystkie moje kroki wydają się logiczne, jeśli nie, proszę mnie poprawić . Ale teraz są też „węzły narożne”, w których nie mam pojęcia, jak sobie z nimi poradzić.

$div(\sigma) = 0$

Więc moje pytanie brzmi: jaki jest właściwy sposób obsługi tych „węzłów narożnych”? Cieszę się z każdego pomysłu.

Miałem podobne problemy z warunkami brzegowymi narożników, szczególnie w rozwiązywaniu problemów z płytami konstrukcyjnymi przy równomiernie stosowanym nacisku poprzecznym. W szczególności, jeśli ktoś próbuje uzyskać obciążenia ścinające na krawędziach (w tym na rogach). Obciążenia ścinające są funkcją ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y. Używając centralnego schematu różnicowego, potrzebujemy węzła „widma”, który jest ukośny do węzła narożnego, aby ustalić tę pochodną. Nie sądzę, aby uśrednianie na podstawie sąsiednich węzłów było właściwe. Wykorzystałem moment skręcający Mxy, który obliczyłem w węźle narożnym i zrównałem go z różnicą „cząsteczki” skończonej różnicy dla momentu skręcającego w funkcji przemieszczeń. Ponieważ znałem już przemieszczenia wszystkich innych sąsiednich węzłów (w oparciu o warunki brzegowe wzdłuż krawędzi płyty), dla tego „trudnego” węzła narożnego była prosta sprawa. Mam nadzieję, że to pomoże.

Być może próbujesz rozwiązać układ równań, który nie ma unikalnego rozwiązania. Wyobraź sobie, że masz kilka węzłów połączonych sprężynami, unoszących się w przestrzeni i chcesz znaleźć pozycję równowagi każdego węzła. Jeśli system nie jest zakotwiczony w czymś stałym (lub nie przykłada się siły), istnieje wiele możliwych rozwiązań. Każde rozwiązanie można zawsze przetłumaczyć lub obrócić i nadal jest rozwiązaniem. Czy próbowałeś naprawić przesunięcia w jednym węźle narożnym, aby wyeliminować translację, i naprawić jedno przesunięcie w drugim narożniku, aby wyeliminować obroty?

Kiedyś wypróbowałem to podejście polegające na naprawianiu niektórych węzłów i dopasowywaniu normalnych sił do innych, ale wydawało się, że skupia ono duże ilości siły na poszczególnych węzłach granicznych, co powoduje niestabilność. Skończyło się na tym, że nie próbowałem zakotwiczyć tylko kilku węzłów, ale zakotwiczyć wszystkie węzły w stosunku do jednorodnego odkształcenia. Zasadniczo naciskasz cały układ jednorodnie, ale następnie włączasz jednorodny składnik do lokalnej definicji odkształcenia w każdym węźle, więc nie wnosi on żadnej dodatkowej energii sprężystej. Możesz przeczytać więcej na ten temat w tym dokumencie i cytowanych źródłach: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Ten problem niestabilności jest prawdopodobnie dobrym powodem, aby w miarę możliwości wybrać elementy skończone dla problemów mechanicznych.