Złożona analiza numeryczna

Jakie sytuacje analizy numerycznej stają się bardziej / mniej stabilne, mają szybszą / wolniejszą zbieżność lub w inny sposób są zupełnie inne w przypadku funkcji zmiennej złożonej zamiast funkcji zmiennej rzeczywistej?

algorithms

— vtt
źródło

Twoje pytanie jest trochę niejasne ... Czy możesz zasugerować konkretną „sytuację” lub „algorytm”, o której myślisz? Bardzo pomogłoby nam odpowiedzieć na twoje pytanie.

— Paweł

Jedyny przypadek, w którym złożonym cyfra w numerycznych wiem są równaniami Maxwella, ale nie ma wewnętrzną trudność tylko przez niektórych liczb będących w

. Jeśli jednak zastąpisz wszystkie liczby zespolone rzeczywistymi wektorami lub macierzami, zobaczysz, że mnożenie przez liczbę zespoloną staje się mnożeniem przez macierz skośno-symetryczną. Nie wiem, czy to coś sugeruje.

C

$\mathbb C$

— shuhalo

@Martin: Pole złożone jest naturalnym ustawieniem wielomianów ze względu na podstawowe twierdzenie algebry. Ponieważ wartości własne macierzy są pierwiastkami charakterystycznego wielomianu i są na ogół złożone nawet dla prawdziwych macierzy, algebra liniowa jest najbardziej naturalnie zbudowana na złożonym polu.

— Jack Poulson

Z drugiej strony obserwuj na przykład algorytm QR z podwójną zmianą, który dokładnie przesuwa się w celu uniknięcia stosowania złożonej arytmetyki. Zobacz także kwadratowy algorytm Jenkinsa-Trauba, który został zaprojektowany do znajdowania złożonych korzeni wielomianów pary sprzężonej na raz ...

— JM

Jestem nieco rozdarty, ponieważ aby dodać jeszcze więcej zamieszania do miksu, zdarza się, że liczby zespolone są po prostu traktowane jako pary liczb rzeczywistych do celów księgowych.

— Geoff Oxberry

Odpowiedzi:

Złożone zróżnicowanie numeryczne jest stabilne, w przeciwieństwie do rzeczywistego zróżnicowania numerycznego.

Patrz strony 32-33 „Stosowanej i kompleksowej analizy złożonej” tom 3, Peter Henrici,

„The Complex-Step Derivative Approximation”, JOAQUIM RRA MARTINS, PETER STURDZA i JUAN J. ALONSO,

oraz ten artykuł w Wikipedii na temat metod zmiennych złożonych do numerycznego różnicowania.

— vtt
źródło

Ponadto numeryczne zastosowanie wzoru na różnicowanie Cauchy'ego jest czasem wykonalnym algorytmem. Zobacz także metody Lyness i innych, które opierają się na szybkiej transformacie Fouriera do obliczania współczynników Taylora funkcji (czyli oceny sekwencji pochodnych o danej wartości).

— JM

Z ciekawości, oprócz artykułu z Wikipedii, czy są jakieś zasoby online, na które możesz nas wskazać?

— Geoff Oxberry

@Geoff: To i ta sprawa z podejściem Lynse do różnicowania; ten artykuł autorstwa Squire i Trapp to oryginalny artykuł opisujący podejście „złożonego kroku” do różnicowania numerycznego.

— JM

Arytmetyka złożonych interwałów wykorzystuje różne rodzaje interwałów, np. Prostokątne lub kołowe, więc należy wziąć pod uwagę więcej niż w przypadku rzeczywistych interwałów.

„Arytmetyka przedziałów złożonych i jej zastosowania”, Miodrag Petković, Ljiljana Petković

— vtt
źródło

Po co odpowiadać trzy razy na własne pytanie zamiast odpowiadać na wszystkie trzy komentarze naraz?

— Jack Poulson

Artykuł:

„Algorytmy numeryczne oparte na teorii zmiennej zespolonej”, JN Lyness - Materiały z 22. konferencji krajowej w 1967 r., 1967 r.

— vtt
źródło