Czy równanie doradcze o zmiennej prędkości może być zachowawcze?

Próbuję nieco lepiej zrozumieć równanie doradcze ze zmiennym współczynnikiem prędkości. W szczególności nie rozumiem, jak to równanie może być konserwatywne.

Równanie adwekcja ,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x}(\boldsymbol{v}u) = 0$$

Zinterpretujmy $u(x,t)$ jako koncentrację niektórych gatunków fizycznych ( $cm^{-3}$ ) lub innej wielkości fizycznej, której nie można stworzyć ani zniszczyć. Jeśli zintegrujemy $u(x,t)$ z naszą domeną, powinniśmy uzyskać stałą wartość,

$$\int_{x_{\text{min}}}^{x_{\text{max}}} u(x,t) dx = \text{constant}$$

(Mam na myśli to, że jestem konserwatywny).

Jeśli teraz pozwolimy, by prędkość była funkcją przestrzeni (i czasu), $\boldsymbol{v}(x,t)$ , wówczas należy zastosować regułę łańcucha, aby dać,

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x} + \underbrace{u\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial x}}_{\text{?}} = 0$$

Ostatni termin „wygląda” jak termin źródłowy i to jest dla mnie mylące. Zwiększy lub zmniejszy wielkość $u$ zależności od dywergencji pola prędkości.

Po tym pytaniu rozumiem, jak narzucić warunki ochrony. Jednak w przypadku równania doradzania zmiennej prędkości nie rozumiem, w jaki sposób można uzyskać warunki brzegowe ochrony z powodu dodatkowego „terminu źródłowego”, który wprowadza się przez zastosowanie reguły łańcucha. Czy to równanie może być konserwatywne? Jeśli tak, w jaki sposób można zastosować poprawne warunki brzegowe?

Podstawową ilością w transporcie jest strumień , celu uzyskania porady. Twierdzenie o dywergencji stwierdza, że$\mathbf v u$

$$\int_\Omega \nabla\cdot (\mathbf v u) = \int_{\partial \Omega} (\mathbf v u) \cdot \mathbf n .$$

Równanie jest konserwatywne, gdy zachowuje tę równość. Przechodząc do 1D z i używając równania , mamy$\Omega = (a,b)$$u_t + (\mathbf v u)_x = 0$

$$\Big(\int_a^b u\Big)_t = \int_a^b u_t = -\int_a^b (\mathbf v u)_x = -\mathbf v u |_a^b$$

gdzie termin po prawej jest tylko różnicą strumienia między lewą i prawą granicą.

Jeśli chodzi o twoje drugie spostrzeżenie, niekonsekwentna (nie dywergencyjna) forma wprowadza w błąd (i jest uzasadniona tylko dla płynnych rozwiązań). Produkt nie jest transportem zachowawczym, jeśli nie jest wolny od dywergencji (tzn. Jest stały w 1D). Powinieneś trzymać się konserwatywnej formy i powstrzymać się od potrzeby zastosowania reguły łańcucha podczas oceny właściwości konserwatorskich.$\mathbf v \cdot \nabla u$$\mathbf v$