Korzystanie z iteracji stałoprzecinkowej w celu oddzielenia systemu pde

Załóżmy, że miałem problem z wartością graniczną:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Moim celem jest rozłożenie rozwiązania tego sprzężonego problemu na sekwencję niesprzężonych PDE. Aby oddzielić system, stosuję iterację o stałym punkcie względem sekwencji przybliżeń tak że $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Teoretycznie pozwoliłoby mi to rozwiązać oba równania jako czysto eliptyczne PDE. Jednak nigdy nie widziałem, aby iteracje ustalonego punktu były stosowane do PDE w ten sposób. Widziałem iteracje punktów stałych zastosowane do równań dyskretnych numerycznie (metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych itp.), Ale nigdy bezpośrednio do równań ciągłych.

Czy robiąc to, naruszam jakąkolwiek rażącą matematyczną zasadę? Czy to jest poprawne matematycznie? Czy mogę rozwiązać sprzężone PDE jako sekwencję niezwiązanych PDE, używając iteracji o stałym punkcie zastosowanej do problemu zmiennej CONTINUOUS zamiast problemu zmiennej DISCRETE?

W tym momencie tak naprawdę nie martwię się, czy zastosowanie tej metody jest praktyczne, ale raczej, czy jest ona teoretycznie możliwa. Wszelkie uwagi będą mile widziane!

pde iterative-method

— Paweł
źródło

W literaturze dotyczącej hiperbolicznego PDE metody ułamkowe i operatorowe dzielą coś, co opisujesz powyżej.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Tak! Właśnie to poprawiłem.

— Paweł

@GeoffOxberry: Uważam, że podział operatora ma bardzo różny charakter.

— anonimowy

@Paul: Mogę wymyślić co najmniej jeden inny problem, w którym „sprzężone PDE” są rozwiązywane przez iterację w punkcie stałym (a nie tylko sformułowane jako problemy w punkcie stałym): dekompozycja domen, patrz np. Metoda Neumanna – Dirichleta. (różnica polega na tym, że masz dwa PDE, ale żyją one w różnych domenach, a sprzężenie odbywa się tylko przez interfejs).

— anonimowy

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (plus warunki brzegowe).

Oczywiste jest, że jeśli ta sekwencja się zbiegnie, będzie to rozwiązanie oryginalnego zestawu PDE.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Ta logika działa zarówno w przestrzeni ciągłej, jak i dyskretnej.

— Nico Schlömer
źródło

Czy nie powinno ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paweł