Czy zasada maksimum / minimum równania ciepła jest utrzymywana przez dyskretyzację Cranka-Nicolsona?

10

Używam schematu różnic skończonych Cranka-Nicolsona do rozwiązania równania cieplnego 1D. Zastanawiam się, czy zasada maksimum / minimum równania ciepła (tj. Że maksimum / minimum występuje w stanie początkowym lub na granicach) również obowiązuje dla rozwiązania dyskretnego.

Prawdopodobnie wynika to z faktu, że Crank-Nicolson jest stabilnym i zbieżnym schematem. Wygląda jednak na to, że możesz to udowodnić bezpośrednio za pomocą argumentu algebry liniowej przy użyciu matryc utworzonych ze wzoru Cranka-Nicolsona.

Byłbym wdzięczny za wszelkie wskazówki do literatury na ten temat. Dzięki.

— foobarbaz
źródło

Cześć foobarbaz i witamy w scicomp! Zakładam, że twój problem nie ma warunków źródłowych, prawda?

— Paweł

8

Zasada maksimum dla Crank-Nicolson będzie obowiązywać, jeśli dla timepepi odstępów między siatkami. Ogólnie rzecz biorąc, możemy rozważyćschematw postaci

μ ≐ \frac{k}{h^{2}} \leq 1

$\mu \doteq \frac{k}{h^2} \leq 1$

k

$k$

h

$h$

θ

$\theta$

gdzie

jest standardową macierzą Laplaciana, a

. Jeśli

u^{n + 1} = u^{n} + \frac{μ}{2} ((1 - θ) A u^{n} + θ A u^{n + 1})

$u^{n+1} = u^n + \frac{\mu}{2}\left( (1-\theta)Au^n + \theta Au^{n+1}\right)$

A

$A$

0 \leq θ \leq 1

$0 \leq \theta \leq 1$

, następnie schemat jest stabilny. (Można to łatwo wykazać za pomocą technik Fouriera.) Jednak silniejszym kryterium jest to, że

μ (1 - 2 θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-2\theta) \leq \frac{1}{2}$

jest potrzebne, aby zasada maksymalnej wartości była ogólnie ważna.

μ (1 - θ) \leq \frac{1}{2}

$\mu(1-\theta) \leq \frac{1}{2}$

Aby uzyskać dowód, zobacz Numeryczne rozwiązania częściowych równań różniczkowych autorstwa KW Mortona . W szczególności spójrz na sekcje 2.10 i 2.11 oraz Twierdzenie 2.2.

Jest też fajny sposób, aby przekonać się, że zasada maksimum nie będzie obowiązywać ogólnie dla Cranka-Nicolsona bez ograniczenia . $\mu$

Rozważ równanie cieplne na z dyskretyzacją zawierającą 3 punkty, w tym granicę. Niech oznacza dyskretyzację w punkcie czasowym i punkcie siatki . Załóżmy granicę Dirichleta, aby dla wszystkich . Następnie Crank-Nicolson zmniejsza się do $[0,1]$ $u_i^k$ $k$ $i$ $u^k_0 = u^k_2 = 0$ $k$ które można dodatkowo zredukować do

(1 - \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n + 1} = (1 + \frac{μ}{2} (- 2)) u_{1}^{n},

$\left(1 - \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^{n+1}_1 = \left(1 + \frac{\mu}{2}(-2)\right)u^n_1,$

u_{1}^{n + 1} = (\frac{1 - μ}{1 + μ}) u_{1}^{n} .

$u^{n+1}_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)u^n_1.$

Jeśli weźmiemy pod uwagę warunek początkowy , to mamy $u_1^0 = 1$

u_{1}^{n} = {(\frac{1 - μ}{1 + μ})}^{n},

$u^n_1 = \left(\frac{1-\mu}{1+\mu}\right)^n,$

u_{1}^{n} \leq 1

$u^n_1 \leq 1$

u_{1}^{n} < 0

$u^n_1 < 0$

n

$n$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ \leq 1

$\mu \leq 1$

μ

$\mu$

W odpowiedzi na prośbę foobarbazu dodałem szkic dowodu.

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & = θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &= \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j \end{align*}$

$\mu(1-\theta)\leq \frac{1}{2}$

$u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_{j-1}$ $u^{n+1}_{j+1}$ $u^n_{j-1}$ $u^n_{j+1}$ $u^n_j$ $u^{n+1}_j$ $u^{n+1}_j$

\begin{aligned} (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} & > θ μ (u_{j - 1}^{n + 1} + u_{j + 1}^{n + 1}) \\ + (1 - θ) μ (u_{j - 1}^{n} + u_{j + 1}^{n}) \\ + [1 - 2 (1 - θ) μ] u_{j}^{n} \\ = (1 + 2 θ μ) u_{j}^{n + 1} \end{aligned}

$\begin{align*} (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j &> \theta\mu(u^{n+1}_{j-1} + u^{n+1}_{j+1})\\ &+ (1-\theta)\mu(u^n_{j-1} + u^n_{j+1})\\ &+ [1-2(1-\theta)\mu]u^n_j\\ &= (1+2\theta\mu)u^{n+1}_j \end{align*}$

$u^{n+1}_j$ $u$

— Ben
źródło

Dzięki! Czy zdarzyło Ci się znać inne referencje oprócz Mortona? Nie mam dostępu do tych sekcji ani twierdzenia w podglądzie książki Google. Chciałbym zrozumieć dowód.

— foobarbaz

@foobarbaz Nie mam innego podręcznego podręcznika, ale dodałem zarys dowodu. Daj mi znać, jeśli mogę to wyjaśnić.

— Ben

0

Stabilność oznacza, że zaburzenie pozostaje ograniczone w czasie. Nie oznacza to, że zasada maksimum jest spełniona na poziomie dyskretnym, to inna sprawa. Spełnienie zasady dyskretnego maksimum jest wystarczające, ale nie konieczne dla stabilności.

— Chris
źródło