Czy istnieją podejścia rozdzielające operatorów dla wielofizycznych PDE, które osiągają konwergencję wysokiego rzędu?

16

Biorąc pod uwagę ewolucję PDE

u_{t} = ZA u + b u

$u_t = Au + Bu$

gdzie to (prawdopodobnie nieliniowe) operatory różnicowe, które nie dojeżdżają do pracy, powszechnym podejściem numerycznym jest naprzemienne rozwiązywanie $A,B$

u_{t} = ZA u

$u_t = Au$

i

u_{t} = b u .

$u_t = Bu.$

Najprostsza implementacja tego jest znana jako dzielenie Godunowa i jest dokładna pierwszego rzędu. Innym dobrze znanym podejściem, znanym jako dzielenie Strang, jest dokładność drugiego rzędu. Czy istnieją metody podziału operatora wyższego rzędu (lub alternatywne metody dyskretyzacji w zakresie wielofizycznym)?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
źródło

1

Czy warunki są sztywne czy niesztywne? Czy masz funkcję, która stosuje A i B, czy masz tylko algorytm, który przesuwa stan z do ? W przypadku, gdy jeden jest sztywny, a drugi niesztywny, istnieje wiele interesujących metod.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown,

7

Było to my zrozumienie, że BCH wzór systematyczny sposób aproksymacji potęgę naturalną o wykładniku macierzowy dwóch nie przemiennych matryce.

— Matt Knepley
źródło

Ale czy to nie prowadzi do skomplikowanych warunków, nawet gdy PDE jest prawdziwe? Czy ludzie używają go do dyskretyzacji wyższego niż drugiego rzędu?

— David Ketcheson

1

Nie z mojej pamięci (ani strony internetowej). Prowadzi to do wielu komutatorów. W kwantowym wielu ciałach istnieją ładne sposoby uproszczenia tych wyrażeń.

— Matt Knepley

7

Jeśli weźmiesz pod uwagę ogólne operatory A i B i jeśli chcesz tylko wykonać pozytywne kroki czasowe (co jest zwykle wymagane przy rozwiązywaniu problemów parabolicznych), istnieje bariera zamówienia wynosząca 2, tj. Przy użyciu dowolnego podziału, nie można uzyskać wskaźnik konwergencji większy niż dwa. Elementarnym dowodem jest niedawny artykuł S. Blanesa i F. Casasa, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Istnieje jednak kilka sposobów, aby dowiedzieć się więcej o swoim problemie:

Załóżmy, że możesz rozwiązać swoje równania w czasie (co jest wspólne dla np. Równań Schrödingera), wtedy dostępnych jest wiele podziałów, patrz książka „Geometryczna integracja numeryczna” Hairera, Lubicha i Wannera.
Jeśli Twoi operatorzy generują analityczne półgrupy, tzn. Możesz wstawić wartości zespolone dla t (typowe dla równań parabolicznych), ostatnio zaobserwowano, że można uzyskać rozdzielenia wyższego rzędu, wchodząc w płaszczyznę złożoną. Pierwsze artykuły w tym kierunku to E. Hansen i A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf oraz F. Castella, P. Chartier , S. Descombes i G. Vilmart. Wybór złożonych podziałów, które są „optymalne” w pewnym sensie, jest tematem bieżących badań, można znaleźć kilka artykułów na ten temat na arxiv.

Podsumowując: Jeśli przyjmiesz pewne założenia do swojego problemu, możesz coś dostać, ale jeśli nie, to kolejność 2 jest maksymalna.

PS .: Musiałem pobrać link do dokumentu Castella i innych ze względu na zapobieganie spamowi, ale łatwo go znaleźć w Google.

— Philipp Dörsek
źródło

5

Grupa CCSE w LBNL niedawno zastosowała metody Spectral Deferred Correction (SDC) przy niskim przepływie liczby machów ze złożoną chemią. Porównują wyniki SDC z dzieleniem Strang, a wyniki są bardzo obiecujące.

Oto dokument roboczy ze szczegółami: Odroczona strategia sprzęgania korekcji dla przepływu o niskiej liczbie Machów ze złożoną chemią

Należy pamiętać, że schemat SDC jest schematem iteracyjnym, który jest zbieżny z dokładnym rozwiązaniem kolokacji wysokiego rzędu, ale jest zbudowany z metod pierwszego rzędu.

— Matthew Emmett
źródło

2

Błąd podziału można, co najmniej w zasadzie, zredukować metodami spektralnej odroczonej korekcji. Wydaje się jednak, że jest to obszar aktywnych badań, a nie tak naprawdę coś gotowego do ogólnego użytku.

— Brian
źródło

2

Nowe źródło schematów podziału wysokiego rzędu, które wymienia wiele z nich, można znaleźć tutaj:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
źródło