Jakie są możliwe schematy numeryczne dla równania dyfuzyjnego z nieliniowym terminem reakcji?

W przypadku niektórych prostych domen wypukłych w 2D mamy spełniające następujące równanie: z pewnymi warunkami brzegowymi Dirichleta i / lub Neumanna. Według mojej wiedzy zastosowanie metody Newtona w przestrzeni elementów skończonych byłoby względnie prostym sposobem numerycznego rozwiązania tego równania. $\Omega$ $u(x)$

- re ja v (ZA \nabla u) + do u^{n} = fa

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Moje pytania brzmią: (1) Czy istnieje teoria Sobolewa dla dobrego ułożenia odpowiedniego wariacyjnego sformułowania tego równania przy założeniu zerowego warunku brzegowego Dirichleta? Jeśli tak, to jaką przestrzeń Banacha powinniśmy wziąć pod uwagę? (2) Jakie są możliwe podejścia numeryczne dla tego rodzaju równania?

pde finite-element

— Shuhao Cao
źródło

Pytając o „możliwe podejścia numeryczne” pytasz o dyskretyzację lub rozwiązania algebraiczne?

— Jed Brown

Widzę dwa podejścia:

1) Dowolny f (u). Po prostu umieść f ~ f (u0) po prawej stronie równania, przejdź do dowolnego nieliniowego rozwiązania, schemat stałego punktu jest dobrym wyborem, ponieważ i tak nie masz Jakobiana. Najłatwiejszy do wdrożenia i użycia, najbardziej ogólna, ale być może gorsza wydajność, ponieważ Jacobian nie może zostać wykorzystany (jest ogólnie nieznany).

2) f (u) rozłożony na szeregi (wielomian, Fouriera). Trudniejsze do wdrożenia i użycia, może być trudne / niemożliwe dla niektórych specjalnych. Ale w zamian możesz obliczyć i wykorzystać jakobian w metodzie podobnej do Newtona, co na ogół da lepszą wydajność.

— Dominik Lark
źródło

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

Powinieneś dodać u ^ n do f. Następnie masz prostą wielomianową formę terminu reakcji, którą najlepiej potraktować z podejściem 2).

— Dominik Lark