Żądanie referencyjne: Rygorystyczna analiza algorytmów dla PDE i ODE

Interesują mnie sugestie dotyczące odniesień do książek na temat liczbowych PDE i ODE, w szczególności rygorystyczna analiza takich metod w sposób napisany dla profesjonalnych matematyków. Nie musi to być niezwykle wszechstronne w sensie wymieniania setek lub tysięcy różnych metod, ale byłbym zainteresowany czymś, co najmniej obejmuje większość kluczowych pojęć, które kierują nowoczesnymi technikami.

Myślę, że właściwe byłoby narysowanie analogii do podręczników o numerycznej algebrze liniowej, o których jestem bardziej zaznajomiony. Szukam czegoś, co dotyczy błędów stabilności i skracania w numerycznych równaniach różniczkowych, ponieważ dokładność i stabilność algorytmów liczbowych Highama to stabilność i błędy zaokrągleń w numerycznej algebrze liniowej oraz coś, co omawia nowoczesne techniki w ODE i PDE w sposób, w jaki Golub a obliczenia macierzowe Van Loana omawiają większość głównych typów technik algebry liniowej.

Właściwie wiem bardzo niewiele o numerycznych ODE i PDE. Przeczytałem kilka notatek internetowych i mam książkę Metody różnic skończonych dla równań zwykłych i częściowych Randalla LeVeque, która jest jasną książką, ale niewystarczającą do moich celów. Jako bardziej konkretny przykład poziomu, którego szukam, mam nadzieję, że jakakolwiek sekcja na temat równań eliptycznych i parabolicznych zakłada, że ​​czytelnik jest w pełni zaznajomiony z teorią przestrzeni Sobolewa i ich osadzania oraz słabymi rozwiązaniami dla PDE i wykorzystuje wyniki z tej teorii dość swobodnie w szacowaniu błędów dla elementów skończonych itp.

Nie znajdziesz jednego odniesienia systematycznie obejmującego analizę wszystkich ważnych metod dla PDE. Pole technik dyskretyzacji dla PDE jest co najmniej o rząd wielkości większe niż którykolwiek z wyżej wymienionych tematów. W przypadku wszelkich metod obejmujących rozwiązania niejawne, badanie dyskretyzacji bez uwzględnienia metod rozwiązania (np. Powiązanych metod wielosiatkowych) jest wypróbowanym i prawdziwym sposobem na zamalowanie się w „beznadziejnie niepraktycznym” kącie.

Przypuszczalnie znasz Brennera i Scotta, Matematyczną teorię metod elementów skończonych . Jest to tekst na poziomie magisterskim i chociaż ma on część wprowadzającą, możesz szybko uzyskać ważne wyniki.

W przypadku analizy błędów a posteriori w MES dobrym źródłem jest artykuł przeglądowy, Ainsworth i Oden, Szacowanie błędu a posteriori w analizie elementów skończonych , 1997 .

W przypadku metod objętości skończonych może Ci się spodobać papier Acta Numerica Morton and Sonar, Metody objętości skończonych dla praw zachowania hiperbolicznego , 2007 . Jak podają artykuły Acta Numerica, nie jest to bardzo cytowane. Podejrzewam, że dzieje się tak częściowo dlatego, że książka LeVeque jest bardzo dobra i dlatego, że większość praktykujących, którzy nie korzystali z tej książki, zna wiele oryginalnych źródeł. Chociaż nie jestem z tym zaznajomiony, możesz również spojrzeć na Bouchut, nieliniową stabilność metod objętości skończonych dla praw zachowania hiperbolicznego .

Drugi punkt Jeda o tym, jak ważne jest rozważenie solverów jednocześnie z dyskretyzacją. Jest to coś, co „bardziej” matematycy czasami nie robią, co jest bardzo szkodliwe, ponieważ rozwiązują niewłaściwy problem . Rzeczy takie jak struktura bloku, wzór rzadkości i zdolność do budowania warunków wstępnych wydają się być znacznie ważniejsze niż proste rzeczy, takie jak liczba stopni swobody / rozmiar siatki.

Brezzi & Fortin - „Mieszane i hybrydowe metody elementów skończonych” obejmuje materiał komplementarny do Brennera i Scotta. Jest już wyczerpany, a ludzie naprawdę trzymają się ich kopii, więc jeśli nie chcesz płacić kilkuset dolarów, prawdopodobnie będziesz musiał pożyczyć je ze swojej biblioteki.

Seria artykułów Rannachera i in. Z początku 2000 roku, takich jak „Optymalne podejście kontrolne do szacowania błędu posteriori w metodach elementów skończonych” zapewnia głębsze i szersze zastosowanie w zakresie szacowania błędu a posteriori niż to, co wyjaśniono w Ainsworth i Oden's książka (moim zdaniem).

Przestrzenie Sobolewa nie są wszechstronnymi funkcjami dla PDE, choć można odnieść wrażenie, że czytają wstępne książki dla absolwentów, takie jak Evans. Przestrzenie Besova są bardziej ogólne i całkiem ładne i zmuszają cię do zastanowienia się, jak i dlaczego niektóre przestrzenie funkcyjne są konstruowane poprzez kontrolowanie podstawowych bloków konstrukcyjnych, aby zapewnić ograniczenia oscylacji, integralności i struktury wieloskalowej. Miły „filozoficzny” artykuł na temat przestrzeni funkcji w szerokim zakresie jest post Terry Tao tutaj . Książka Triebela (głównie o przestrzeniach Besowa) „Teoria przestrzeni funkcyjnych II” jest świetna! Istnieje głęboki związek między przestrzeniami Besowa i falkami, więc bardzo czytelny artykuł DeVore na temat falek jest przydatny.

Oprócz świetnych rekomendacji Jeda (osobiście mogę ręczyć za Brenner + Scott jako świetną książkę do elementów skończonych), świetną książką do numerycznego rozwiązania ODE jest Butcher:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

To była moja Biblia przez długi czas, dopóki nie przypomniała mi o tym moja biblioteka uniwersytecka.

Ern + Guermond może okazać się cenną książką, jeśli już znasz się na delikatnej matematyce

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Po przeczytaniu kilku artykułów Ern + Guermond mogę powiedzieć, że zdecydowanie skłaniają się ku ciężkiemu formalizmowi. Rozdziały są mniej więcej samowystarczalnym modulo, jakimś zapisem, który być może będziesz musiał obrócić, aby uzyskać definicję.

W przypadku PDE książką o podobnym funkcjonalno-analitycznym smaku jak Ern i Guermond jest D. Braess, Finite Elements , Cambridge University Press, 2007 . Jako podręcznik, a nie monografia badawcza, jest bardziej dostępny, choć mniej obszerny. Z drugiej strony omawia także zastosowania (głównie w zakresie elastyczności).

Jeśli chodzi o ODE, uważam, że Biblia jest nadal trzyczęściowym dziełem Hairera i Wannera ( Rozwiązywanie ODE I , Rozwiązywanie ODE II i Geometryczna integracja numeryczna ).

Na koniec nie zapomnij o wielu doskonałych notatkach z wykładów dostępnych w Internecie.