Czy 8 sześciokątnych elementów skończonych drugiego rzędu wymaga 8 punktów Gaussa?

Czy możliwe jest uzyskanie dokładności drugiego rzędu dla sześciokątnych elementów skończonych z mniej niż 8 punktami Gaussa bez wprowadzania trybów niefizycznych? Pojedynczy centralny punkt Gaussa wprowadza niefizyczny tryb ścinania, a standardowy symetryczny układ 8 punktów Gaussa jest drogi w porównaniu do dyskretyzacji czworościennych.

Edycja : Ktoś poprosił o równania. Równania, które mnie interesują, to elastyczność nieliniowa, dynamiczna lub quasistatic. Kwasistatyczne równania są

\nabla \cdot P (\nabla ϕ) = 0

$\nabla \cdot P\left(\nabla \phi \right) = 0$

$\phi : \Omega \to \mathbf{R}^3$ $\Omega \subset \mathbf{R}^3$ $P : \mathbf{R}^{3 \times 3} \to \mathbf{R}^{3 \times 3}$

P (F) = μ (F - F^{- T}) + λ F^{- T} \log det F

$P(F) = \mu (F - F^{-T}) +\lambda F^{-T} \log \det F$

finite-element accuracy

— Geoffrey Irving
źródło

Co dokładnie symulujesz?

— Dan

Elastyczność liniowa w tej chwili, ale pytanie dotyczy ogólnie elastyczności nieliniowej.

— Geoffrey Irving

Prawdopodobnie powinieneś uwzględnić równania, które Cię interesują, ponieważ od nich zależy definicja „niefizyczne”. Lub przynajmniej precyzyjnie zdefiniuj przestrzeń funkcji, które są „fizyczne”.

— David Ketcheson

Dodano równania.

— Geoffrey Irving

Czy w przypadku dPhi / dx masz na myśli gradient?

— Wolfgang Bangerth,

Odpowiedzi:

Jeśli chodzi o symulacje mechaniki bryłowej elementów skończonych, nie można użyć mniej niż 8 punktów kwadraturowych bez użycia sił stabilizacji. W przypadku materiału nieściśliwego (twój przypadek) najlepszym rozwiązaniem dla dokładności jest zastosowanie mieszanego preparatu. Możesz odnieść się do książki Simo i Hughesa: http://books.google.fr/books/about/Computational_inelasticity.html?hl=fr&id=ftL2AJL8OPYC .

— Nicolas Tardieu
źródło

Jest względnie oczywiste, że generalnie nie można uciec z mniejszą liczbą punktów kwadraturowych na komórkę niż w stopniach swobody. W przypadku elementów trójliniowych na sześcianie 3d istnieje 8 stopni swobody (jeden na wierzchołek), więc minimalna liczba punktów kwadraturowych również wynosiłaby osiem.

który nie jest odwracalny, a zatem całkowicie bezużyteczny. Powodem jest to, że jednopunktowa formuła kwadraturowa nie może rozróżnić wszystkich funkcji liniowych (część przestrzeni próbnej), które mają tę samą wartość w punkcie kwadraturowym; innymi słowy, dla reguły punktu środkowego funkcja kształtu „x” jest taka sama, jak funkcja „0” jest taka sama jak funkcja „-x”. Innymi słowy, podczas gdy przestrzeń próbna ma wymiar 2 z dokładnymi całkami, dla reguły punktu środkowego przestrzeń ma wymiar 1, mimo że istnieją dwa stopnie swobody - taka jest definicja przestrzeni, która nie jest nierozpuszczalna.) dla reguły punktu środkowego funkcja kształtu „x” jest taka sama, jak funkcja „0” jest taka sama jak funkcja „-x”. Innymi słowy, podczas gdy przestrzeń próbna ma wymiar 2 z dokładnymi całkami, dla reguły punktu środkowego przestrzeń ma wymiar 1, mimo że istnieją dwa stopnie swobody - taka jest definicja przestrzeni, która nie jest nierozpuszczalna.) dla reguły punktu środkowego funkcja kształtu „x” jest taka sama, jak funkcja „0” jest taka sama jak funkcja „-x”. Innymi słowy, podczas gdy przestrzeń próbna ma wymiar 2 z dokładnymi całkami, dla reguły punktu środkowego przestrzeń ma wymiar 1, mimo że istnieją dwa stopnie swobody - taka jest definicja przestrzeni, która nie jest nierozpuszczalna.)

— Wolfgang Bangerth
źródło

Myślę, że pytanie Geoffa jest bardziej subtelne. W przypadku ciągłych przestrzeni elementów skończonych na czworościanach w dobrze ukształtowanych domenach (np. Bez elementów izolowanych) można uzyskać jednopunktowe kwadratury, które są wyraźnie niewystarczająco zintegrowane. Pytanie brzmi, czy możliwe jest również niepełne zintegrowanie z elementami heksaedrycznymi. Nie znam odpowiedzi, ale nie jestem pewien, jak duża jest to sprawa, ponieważ punkty kwadraturowe nie wymagają dodatkowego ruchu pamięci. Po wektoryzacji oceny resztkowej elementu skończonego często wiąże się to z pamięcią, więc lepiej będzie, jeśli użyjesz klap.

— Jed Brown

Dobra uwaga na temat ruchu pamięci.

— Geoffrey Irving

Aby rozwinąć punkt Jeda: powodem, dla którego powyższy „oczywisty” argument jest fałszywy, jest to, że każdy punkt kwadratury widzi matrycę . W przypadku czworościanów, które obejmują wszystkie ruchy wierzchołków, z wyjątkiem równomiernego przesunięcia, które nie wpływa na energię ani siły, więc jeden punkt kwadratury jest wystarczający dla dokładności pierwszego rzędu.

3 \times 3

$3 \times 3$

— Geoffrey Irving

Raczej niewygodne, że komentarze nie mogą zawierać znaków nowej linii.

— Geoffrey Irving

@JedBrown: Dobra uwaga. Gradient funkcji liniowych na tetach jest stałymi, więc wystarczy jeden punkt kwadraturowy, zgodnie z argumentem przedstawionym przeze mnie dla macierzy masy (macierz sztywności jest macierzą masy dla gradientów :-). Z drugiej strony gradienty funkcji trójliniowych na sześciościennych są (anizotropowymi) funkcjami kwadratowymi, więc z pewnością potrzebny jest więcej niż jeden punkt kwadraturowy na kierunek współrzędnych.

— Wolfgang Bangerth,