Kwadratura liczbowa z pochodnymi

19

Większość metod numerycznych kwadratury traktuje całkę jako funkcję czarnej skrzynki. Co jeśli mamy więcej informacji? W szczególności, jaką korzyść, jeśli w ogóle, możemy czerpać ze znajomości pierwszych kilku pochodnych integrandu? Jakie inne informacje mogą być cenne?

W szczególności w przypadku instrumentów pochodnych: szacunki błędów dla podstawowej kwadratury (reguły prostokąt / trapzoid / simpson) są ściśle powiązane. Być może istnieje sposób, aby wstępnie wybrać rozdzielczość próbkowania zamiast polegać na dynamicznej adaptacji?

Interesuje mnie zarówno przypadek jednowymiarowy, jak i wielowymiarowy.

quadrature error-estimation

— MRocklin
źródło

3

Drobna korekta: prostokąt, trapez i reguła Simpsona to reguły typu Newtona-Cotesa, a nie kwadratury Gaussa.

— Pedro

20

Myślę, że nie jest to dokładnie to, co miałeś na myśli, ale dla kompletności zacznijmy od podstaw. Większość wzorów kwadraturowych, takich jak Newton-Cotes i Gauss, opiera się na idei, że aby w przybliżeniu oszacować całkę funkcji, można przybliżyć funkcję poprzez np. Wielomian, który można następnie dokładnie zintegrować:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes i Gauss są oparte na interpolacji Lagrange'a , co oznacza, że interpolujesz daną funkcję za pomocą jej wartości na zbiorze węzłów (które są rozmieszczone równomiernie dla Newtona-Cotes i wybrane optymalnie w pewnym sensie dla Gaussa). W tym przypadku, oraz Całki wielomianu węzłowych funkcji bazowych są dokładnie wagi kwadratury. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

To samo podejście działa z interpolacją Hermite'a , tj. Interpolacją z wykorzystaniem wartości funkcji i jej pochodnych do określonej kolejności na zbiorze węzłów. Tylko w przypadku funkcji i pierwszych wartości pochodnych masz (Jest toimplementacja Matlaba, jeśli chcesz zobaczyć, jak to działa.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Jest to związane z wariantem kwadratury Gaussa zwanym kwadraturą Gaussa-Legendre'a, w której węzły są wybierane właśnie w celu ciężarów (co jest innym wytłumaczeniem faktu, że kwadratura Gaussa z węzłami jest dokładnie rzędu ). Myślę, że przynajmniej częściowo odpowiada to na twoje pytanie w drugim akapicie. Z tego powodu zamiast interpolacji hermitowskiej zwykle stosuje się kwadraturę Gaussa, ponieważ otrzymujesz to samo zamówienie z taką samą liczbą punktów, ale nie potrzebujesz informacji pochodnych. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

W przypadku kwadratury wielowymiarowej napotykasz problem polegający na tym, że liczba pochodnych (w tym pochodnych mieszanych), którą musisz ocenić, rośnie bardzo szybko wraz ze wzrostem kolejności.

Wracając do pytania: prostym sposobem wykorzystania informacji pochodnych byłoby użycie podziału domeny integracyjnej i zastosowanie oddzielnej kwadratury dla każdego działu. Jeśli wiesz, że pochodne twojej funkcji są duże w jakiejś części domeny, możesz użyć albo mniejszych domen (w efekcie formuły zsumowanej kwadratury), albo wyższego rzędu kwadratur. Jest to związane , odpowiednio, z adaptacją h i p , w metodach elementów skończonych.

— Christian Clason
źródło

6

Istnieje wiele „poprawionych” reguł integracji, które odwołują się do pochodnych punktów końcowych. Jednym prostym przykładem jest poprawiona reguła trapezowa. Załóżmy, że chcemy zbliżyć całkę

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

Niech będzie liczbą całkowitą, a . Następnie reguła trapezowa $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

zapewnia proste przybliżenie całki z błędem rzędu . Jednak „poprawiona” reguła trapezowa: $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

znacznie zwiększa dokładność. Rozważmy na przykład

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

i wybierz . Dokładna wartość , z dokładnością do 14 miejsc po przecinku, wynosi $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

A wartości i są $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

odpowiednio. Błędy są

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

i

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

wykazując niezwykły wzrost dokładności. Istnieją dalsze poprawki dotyczące wyższych pochodnych lub zaczynające się od innych reguł Newtona-Cotesa lub reguł typu Gaussa.

— Alasdair
źródło

5

$\text{polynomial}\times\text{weight function}$ dokładnie. Zgodnie z oczekiwaniami, aby zastosować tę regułę, oczekuje się, że będzie można teraz ocenić twoją funkcję i wiele jej pochodnych w dowolnych rzeczywistych punktach. Wyszukiwanie w zwykłych miejscach powinno być w stanie wyświetlić jeszcze kilka referencji.

— JM
źródło

4

Chociaż ten wątek jest dość stary, pomyślałem, że przydatne może być odniesienie do recenzowanego artykułu w celu uogólnienia niektórych powszechnych reguł kwadraturowych.

Nenad Ujevic, „Uogólnienie zmodyfikowanych reguł Simpsona i granic błędów”, ANZIAM Journal, t. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Pomyślałem, że dobrze byłoby podać dobre odniesienie, które jest ogólnodostępne i zawiera odniesienia do innych artykułów.

Jak zauważył Alasdair powyżej, w tym pochodne punktów końcowych mogą znacznie zwiększyć dokładność. Na przykład Ujevic i Roberts wykazali, że dodanie pierwszych pochodnych do reguły Simpsona zmniejsza błąd do 6-go rzędu w odstępach siatki, podczas gdy jest to 4-ty rząd bez pochodnych. Artykuł Ujevica pokazuje, że można znaleźć jeszcze bardziej ścisłe granice błędów.

N. Ujevic i AJ Roberts, A poprawiona formuła kwadraturowa i zastosowania, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason zasugerował, żebym zamieścił komentarz, który zamieściłem w odpowiedzi, ponieważ uważał, że podane przeze mnie odniesienia są dobre i mogą zostać utracone, jeśli komentarze zostaną w pewnym momencie usunięte).

— Lysistrata
źródło

Czy możesz skomentować wyniki przedstawione w artykule?

— nicoguaro

Mogę teraz, gdy mam wystarczającą liczbę punktów rep! Pomyślałem, że dobrze byłoby podać dobre odniesienie, które jest ogólnodostępne i zawiera odniesienia do innych artykułów. Jak zauważył Alasdair powyżej, w tym pochodne punktów końcowych mogą znacznie zwiększyć dokładność. Na przykład w odsyłaczu 6 artykułu, do którego się przyłączyłem, Roberts i Ujevic wykazali, że dodanie pierwszych pochodnych do reguły Simpsona zmniejsza błąd do 6-go rzędu w odstępach siatki, podczas gdy jest to 4-ty rząd bez pochodnych. Artykuł Ujevica pokazuje, że można znaleźć jeszcze ściślejsze granice błędów.

— Lysistrata

1

@Lysistrata To miła referencja. Czy możesz edytować swoje komentarze w samej odpowiedzi? Komentarze mogą zniknąć i szkoda by je zgubić.

— Christian Clason