W tej chwili mam kod, który używa algorytmu Crank-Nicholson, ale myślę, że chciałbym przejść do algorytmu wyższego rzędu w celu pomiaru czasu. Wiem, że algorytm Crank-Nicholson jest stabilny w dziedzinie, w której chcę pracować, ale martwię się, że niektóre inne algorytmy mogą nie być.
Wiem, jak obliczyć region stabilności algorytmu, ale może to być rodzaj bólu. Czy ktoś zna jakieś dobre odniesienie do właściwości stabilności wielu algorytmów pomiaru czasu dla parabolicznych PDE?
Odpowiedzi:
Moim ulubionym jest książka Johna Strikwerdy „Schematy różnic skończonych i równania różniczkowe cząstkowe” .
Naprawdę dobrze potraktował teorię stabilności za pomocą analizy Fouriera. Mam tylko pierwsze wydanie, w którym nie przedstawia idei regionu stabilności. Według strony internetowej SIAM, druga edycja dodała ten materiał.
Bardzo krótka odpowiedź: dla wyczerpującego opisu nie można pokonać Hairer i Wanner tom II .
Krótka odpowiedź: Oto kilka skryptów MATLAB do wykreślenia regionu stabilności liniowej metody wieloetapowej lub metody Runge-Kutta , biorąc pod uwagę współczynniki. Możesz także użyć pakietu nodepy pakietu Python (zastrzeżenie: to mój pakiet i nie jest to najbardziej dopracowane oprogramowanie, ale wykreślanie regionów stabilności to jedna rzecz, którą robi bardzo dobrze). Instrukcje dotyczące kreślenia regionów stabilności znajdują się tutaj .
Dłuższa odpowiedź: są trzy klasy metod, którymi możesz się tutaj zainteresować.
-stabilność. Niektóre przykłady takich metod to metody Gaussa-Legendre'a, Radau i Lobatto. Wszystkie są w pełni dorozumiane, a zatem dość drogie.
Jawne metody , które będą konieczne, obejmują tylko skończony przedział na ujemnej osi rzeczywistej. Istnieją specjalne „ustabilizowane” wyraźne metody (w szczególności metody Runge-Kutta-Chebyshev ), które mają duże ujemne regiony stabilności osi rzeczywistej i są odpowiednie dla lekko sztywnych problemów, ale zwykle nie dla problemów parabolicznych. Dobrym wejściem do tej literatury jest ten artykuł , który zawiera wiele informacji o regionach stabilności.
Aktualizacja : Jeśli naprawdę potrzebujesz wiedzieć wszystko na ten temat, zdobądź kopię monografii Dekkera i Verwera . Ma jedno z najlepszych istniejących pojęć takich jak jednostronne stałe Lipschitza, norma logarytmiczna i kilka głębszych koncepcji stabilności. Jest wyczerpany, ale zwykle możesz znaleźć używane kopie na Amazon (za cenę!)