Całkowanie funkcji harmonicznej w czworościanie

Powiedzmy, że mam funkcję , którą chcę zintegrować z czworościanem . Gdyby było arbitralne, kwadratura Gaussa byłaby dobrym rozwiązaniem, ale zdaję sobie sprawę, że jest harmoniczne. Jak bardzo można przyspieszyć kwadraturę Gaussa przy użyciu tych informacji? $f : \mathbf{R}^3 \to \mathbf{R}$ $T \subset \mathbf{R}^3$ $f$ $f$

Na przykład, jeśli byłaby zamiast tego kulą, ocena jeden raz w środku kuli daje dokładną odpowiedź przez właściwość wartości średniej. $T$ $f$

Poszukiwania ujawniły następujący artykuł, który jest interesujący, ale uogólnia wielkość kuli w innym kierunku (na polharmoniczny zamiast z dala od sfer):

Bojanov i Dimitrov, Gaussowskie formuły rozszerzonej kubatury dla funkcji polharmonicznych

quadrature

— Geoffrey Irving
źródło

Znalazłem coś, co może być interesujące. http://www.math.kth.se/~gbjorn/exact.pdf

Mam nadzieję, że to pomaga, Tom

— Tomek
źródło

To ciekawy artykuł, ale wygląda na to, że jego odniesienia dotyczą tylko całek operatorów różniczkowych funkcji harmonicznych. Czy wiesz, czy można ich użyć do całek prostych?

— Geoffrey Irving

Zastanawiam się, czy wprowadzenie formuły kwadraturowej z tak zwanym „jądrem Poissona” ( en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel ) mogłoby pomóc ... W przeciwnym razie wiem, że niektóre techniki xfem wykorzystują funkcje harmoniczne do wzbogacania przestrzeni FE, i dlatego należy stosować określone metody kwadraturowe do integracji form wariacyjnych (?).

— Tom