Wielokrotnie rozwiązując

Korzystam z MATLAB, aby rozwiązać problem polegający na rozwiązywaniu za każdym razem, gdy b zmienia się z czasem. Obecnie realizuję to za pomocą MATLAB-a :$\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}$$\mathbf{b}$mldivide

x = A\b

Mam elastyczność, aby wykonać tyle wstępnych obliczeń, ile potrzeba, więc zastanawiam się, czy istnieje szybsza i / lub dokładniejsza metoda niż mldivide. Co zazwyczaj się tutaj robi? Dziękuje wszystkim!

Najbardziej oczywistą rzeczą, jaką możesz zrobić, jest wstępne obliczenie

[L,U] = lu(A) ~ O (n ^ 3)

Następnie po prostu oblicz

x = U \ (L \ b) ~ O (2 n ^ 2)

To ogromnie obniżyłoby koszt i przyspieszyło. Dokładność byłaby taka sama.

Przeprowadziliśmy rozległe laboratoria komputerowe na naszych naukowych kursach komputerowych na ten temat. W przypadku „małych” obliczeń, które tam przeprowadziliśmy, operator odwrotnego ukośnika Matlaba był zawsze szybszy niż cokolwiek innego, nawet po tym, jak zoptymalizowaliśmy nasz kod tak bardzo, jak to możliwe i ponownie uporządkowaliśmy wszystkie macierze (na przykład przy zamawianiu rzadkich matryc przez Reverse Cuthill McKee) .

Możesz sprawdzić jedną z naszych instrukcji laboratoryjnych . Odpowiedź na twoje pytanie znajduje się (wkrótce) na stronie 4.

Dobra książka na ten temat została napisana na przykład przez Cheneya .

$A$$n\times n$ $Ax_i = b_i$$i=1\dots m$$m$

V = inv(A);
...
x = V*b;

$O(n^3)$inv(A)$O(n^2)$V*b$m$

>> n = 5000;
>> A = randn(n,n);
>> x = randn(n,1);
>> b = A*x;
>> rcond(A)
ans =
   1.3837e-06
>> tic, xm = A\b; toc
Elapsed time is 1.907102 seconds.
>> tic, [L,U] = lu(A); toc
Elapsed time is 1.818247 seconds.
>> tic, xl = U\(L\b); toc
Elapsed time is 0.399051 seconds.
>> tic, [L,U,p] = lu(A,'vector'); toc
Elapsed time is 1.581756 seconds.
>> tic, xp = U\(L\b(p)); toc
Elapsed time is 0.060203 seconds.
>> tic, V=inv(A); toc
Elapsed time is 7.614582 seconds.
>> tic, xv = V*b; toc     
Elapsed time is 0.011499 seconds.
>> [norm(xm-x), norm(xp-x), norm(xl-x), norm(xv-x)] ./ norm(x)
ans =
   1.0e-11 *
    0.1912    0.1912    0.1912    0.6183

$A^{-1}$$LU$$m>125$

Kilka notatek

Dla analizy stabilności i błędów zobacz komentarze do tej innej odpowiedzi , szczególnie tej autorstwa VictorLiu.

$m\ll n$

Pomiar czasu przeprowadzono za pomocą Matlaba R2011b na 12-rdzeniowym komputerze ze dość stałą średnią wartością obciążenia UNIX wynoszącą 5; najlepszy tic, tocczas z trzech sond.

Spójrz na to pytanie , odpowiedzi pokazują, że mldividejest dość sprytny, a także daje sugestie, jak zobaczyć, co Matlab używa do rozwiązania A\b. Może to dać podpowiedź dotyczącą opcji optymalizacji.

Użycie odwrotnego ukośnika jest mniej więcej równoważne inv(A)*B, jeśli swobodnie go kodujesz, ten drugi może być bardziej intuicyjny. Są mniej więcej takie same (po prostu różnią się sposobem przeprowadzania obliczeń), chociaż powinieneś sprawdzić dokumentację Matlaba w celu uzyskania wyjaśnień.

Aby odpowiedzieć na twoje pytanie, odwrotny ukośnik jest ogólnie w porządku, ale zależy to od właściwości macierzy masy.