siatka jednolita vs. niejednorodna

16

Prawdopodobnie jest to pytanie na poziomie studenta, ale nie potrafię tego wyjaśnić. Dlaczego bardziej dokładne jest stosowanie niejednorodnych siatek w metodach numerycznych? Myślę w kontekście pewnej metody różnic skończonych dla PDE postaci . Załóżmy, że jestem zainteresowany rozwiązaniem w punkcie . Widzę więc, że jeśli przybliżę drugą pochodną, na przykład na jednolitej siatce, stosując przybliżenie trzypunktowe, błąd będzie rzędu drugiego . Następnie mogę zbudować niejednorodną siatkę za pomocą mapowania i znaleźć współczynniki dla trzech punktów, które są używane do przybliżenia pochodnej. Mogę zrobić rozszerzenia Taylora i ponownie uzyskać granicę dla pochodnej drugiego rzędu , gdzie $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ to odległość na jednolitej siatce, z której uzyskałem mapowanie na niejednorodną siatkę. Oba szacunki zawierają pochodne i nie jest dla mnie jasne, dlaczego rozwiązanie byłoby bardziej dokładne na niejednorodnej siatce, ponieważ zależy to od wielkości odpowiednich pochodnych w szacunkach błędów?

pde finite-difference

— Kamil
źródło

19

Uzasadnienie dla niejednorodnych siatek wygląda następująco (wszystkie równania rozumiane jako jakościowe, tj. Zasadniczo prawdziwe, ale bez udawania, że można je udowodnić we wszystkich okolicznościach i dla wszystkich równań lub wszystkich możliwych dyskretyzacji):

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)} \leq C h_{max}^{2} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)},

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C h_{max}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2} .

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ . Najbardziej skuteczną strategią będzie raczej zrównoważenie wkładów w błąd - innymi słowy, powinieneś wybrać Innymi słowy, lokalny rozmiar oczka powinien być mały, gdy roztwór jest szorstki (ma duże pochodne) i duży, gdy roztwór jest gładki, a powyższy wzór zapewnia ilościową miarę tego związku.

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{- 1 / 2} .

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— Wolfgang Bangerth
źródło

1

Dodałbym, że anizotropia jest najskuteczniej reprezentowana przez anizotropową przestrzeń ansatz (tj. Siatkę anizotropową). Ponieważ anizotropia może nie być wyrównana z pewną początkową grubą siatką, izotropowy algorytm AMR może być bardzo nieefektywny. Anizotropia powoduje dodatkowe problemy, ponieważ wiele metod nie jest jednakowo stabilnych pod względem proporcji.

— Jed Brown

6

Udowodnij to sobie na tym przykładzie. Jaki jest maksymalny błąd przy interpolacji sqrt (x) w przedziale [0,1] z częściową interpolacją liniową na jednolitej siatce?

Jaki jest maksymalny błąd podczas interpolacji na siatce, w której i-ta z n punktów jest dana przez (i / n) ^ s, a s jest starannie wybranym parametrem gradacji siatki?

— Rob Schreiber
źródło

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

4

$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— Thomas Klimpel
źródło

czy mógłbyś sprecyzować, jakich innych technik użyłbyś na przykład, aby bliżej „przyjrzeć się” regionom nieciągłości w danych początkowych?

— Kamil

@Kamil Mam tutaj na myśli dwie rzeczy. Pierwszą rzeczą jest obliczenie rzutu danych początkowych na „reprezentację zastosowaną na siatce” z wystarczającą dokładnością. (Zwykle obejmuje to np. Nadpróbkowanie lub proste obliczenia analityczne przy nieciągłości skoków). Wiem, że to jest po prostu dobry styl i zbyt prosty, aby o nim wspominać, ale z mojego doświadczenia wynika, że często wszystko, co jest potrzebne, aby naprawić problemy spowodowane osobliwościami dane wejściowe.

— Thomas Klimpel

Inną rzeczą, o której myślę, jest modelowanie części danych wejściowych jako warunków brzegowych. Oszczędności wynikające z tego są jednak często mniejsze niż czynnik drugi, a warunki brzegowe są niezwykle trudne do osiągnięcia, przynajmniej z mojego doświadczenia. Powiedziałbym więc, że często nie jest to warte wysiłku, aby zrobić to doskonale (lub tylko warte wysiłku, jeśli odpowiednie rozszerzenie problemu w tym kierunku jest naprawdę małe lub jeśli naprawdę chcesz wysokiej dokładności) i po prostu wybranie z grubsza właściwego warunek graniczny i wystarczająco duże odłożenie granicy często działa wystarczająco dobrze.

— Thomas Klimpel

4

Kamil, rozwiązywanie równań różniczkowych jest globalne, interpolacja jest lokalna. W częściowej interpolacji wielomianowej dokładność daleko od osobliwości nie będzie przeszkadzać osobliwości. Niestety nie jest to wcale prawdą w przypadku rozwiązywania równania eliptycznego, takiego jak problem dwupunktowej wartości granicznej. Osobliwość zanieczyści to przybliżenie na całym świecie.

Oto coś do wypróbowania. Rozwiąż D (sqrt (x) Du) na [0,1] z homogenicznym Dirichlet bcs D jest operatorem różnicowania. Użyj elementów skończonych lub różnic skończonych na jednorodnej siatce n-punktowej. Porównaj z siatką, w której i-tym punktem jest (1 / n) ^ 1,5. Zauważ, że najgorszy błąd dla jednolitej siatki jest daleki od osobliwości i znacznie większy niż dla siatki stopniowanej.

— Rob Schreiber
źródło