Strategie metody Newtona, gdy jakobian przy rozwiązaniu jest osobliwy

12

Próbuję rozwiązać następujący układ równań dla zmiennych i (wszystkie pozostałe są stałymi): $P,x_1$ $x_2$

\frac{ZA (1 - P.)}{2)} - k_{1} x_{1} = 0 \frac{ZA P.}{2)} - k_{2)} x_{2)} = 0 \frac{(1 - P.) (r_{1} + x_{1})^{4}}{{L.}_{1}} - \frac{P. (r_{1} + x_{2)})^{4}}{{L.}_{2)}} = 0

$\frac{A(1-P)}{2}-k_1x_1=0 \\ \frac{AP}{2}-k_2x_2=0 \\ \frac{(1-P)(r_1+x_1)^4}{L_1}-\frac{P(r_1+x_2)^4}{L_2}=0$

Widzę, że mogę przekształcić ten układ równań w pojedyncze równanie jednej zmiennej , rozwiązując równania 1 i 2 odpowiednio dla i i podstawiając je w równanie 3. W ten sposób jestem w stanie użyć matlaba polecenie, aby znaleźć rozwiązanie. Korzystając z parametrów , i , znalazłem prawdziwe rozwiązanie . $(P)$ $x_1$ $x_2$ fzero $k_1=k_2=1$ $r_1=r_2=0.2$ $A=2$ $P=x_1=x_2=0.5$

Jednak gdy zastosuję metodę Newtona zastosowaną do oryginalnego układu równań 3 wariacja - 3, iteracje nigdy nie zbiegają się z rozwiązaniem, bez względu na to, jak blisko zaczynam prawdziwe rozwiązanie . $x^*=(P^*,x_1^*,x_2^*)=(0.5,0.5,0.5)$

Na początku podejrzewałem błąd w mojej implementacji metody Newtona. Po kilkakrotnym sprawdzeniu nie znalazłem błędu. Potem spróbowałem użyć początkowego odgadnięcia , a oto: jakobian jest liczbą pojedynczą. Wiem, że osobliwy jakobian może zmniejszyć porządek konwergencji, ale nie sądzę, aby koniecznie zapobiegał konwergencji do prawdziwego rozwiązania. $x_0=x^*$

Moje pytanie brzmi: biorąc pod uwagę, że jakobian systemu w prawdziwym rozwiązaniu jest szczególny:

Jakie inne warunki są konieczne, aby udowodnić, że metoda Newtona nie zbiegnie się z pierwiastkiem?
Czy strategia globalizacji (np. Przeszukiwanie linii) gwarantowałaby konwergencję pomimo pojedynczego jakobiańskiego?

optimization convergence newton-method

— Paweł
źródło

4

(1): Zależy to od zachowania pochodnych jakobianu (sic!) W pustej przestrzeni jakobianu przy rozwiązaniu. W praktyce nikt nie oblicza tych pochodnych, a ja nawet nie zadałem sobie trudu zapamiętania dokładnych warunków.

(2) działa, chociaż zbieżność jest tylko liniowa.

Aby uzyskać zbieżność superliniową (przynajmniej w większości przypadków), można zastosować metody tensorowe. Patrz np.
Https://cfwebprod.sandia.gov/cfdocs/CCIM/docs/SAND2004-1944.pdf
http://www.jstor.org/stable/10.2307/2156931
http://www.springerlink.com/ indeks / X5G827367G548327.pdf

— Arnold Neumaier
źródło

3

Zamiast przeszukiwania linii możesz spróbować zmodyfikować metodę Newtona do algorytmu Levenberga-Marquardta . Implementacja jest dość prosta, jeśli używasz Matlaba.

— Leo Uieda
źródło