Kiedy należy stosować metody niejawne w integracji hiperbolicznych PDE?

Metody numeryczne rozwiązywania PDE (lub ODE) dzielą się na dwie szerokie kategorie: metody jawne i niejawne. Metody niejawne pozwalają na większe stabilne kroki czasowe, ale wymagają więcej pracy na krok. W przypadku hiperbolicznych PDE powszechnie uważa się, że metody niejawne zwykle się nie opłaciły, ponieważ użycie kroków czasowych większych niż dozwolone przez warunek CFL prowadzi do bardzo niedokładnych wyników. Jednak w niektórych przypadkach stosowane są metody niejawne. Jak dla danej aplikacji należy wybrać, czy użyć metody jawnej, czy niejawnej?

Najważniejsze pytanie dotyczy tego, które procesy fizyczne (fale lub warunki źródłowe) mają skale czasowe, które chcesz rozwiązać, a które wolisz przeskoczyć. Jeśli nie interesuje Cię najszybsza skala czasu w systemie, równania nazywane są „sztywnymi”. Hiperboliczne prawa zachowania są zwykle zapisywane jako systemy pierwszego rzędu

$$u_t + \nabla\cdot F(u) = G(u,\nabla u,...)$$

$u$$F$$G$$F$$G$

$A = [\partial F/\partial u]$

Na przykład, jeśli symulujesz długoterminową ewolucję oceanu, możesz nie być zainteresowany falami grawitacji powierzchniowej (np. Tsunami). Niestety zmiana prędkości fali (spowolnienie jej w celu użycia jawnych metod lub przyspieszenie do modelu „sztywnej pokrywy”, który może korzystać z projekcji) zmienia fizykę poprzez zmianę sposobu propagacji wirów. Wiry w oceanie to efekt, w którym fala grawitacyjna jest prawie zrównoważona konwekcją, ale nie do końca.

Innym przykładem jest ściśliwy Euler, np. Przepływ powietrza przez centrum danych. Prędkość fali akustycznej jest znacznie większa niż konwekcja i tylko ta ostatnia jest ważna dla wymiany ciepła. Jeśli nie interesuje Cię akustyka, możesz zastosować metodę niejawną.

Względna wydajność metody niejawnej zależy od kosztu rozwiązania systemów algebraicznych na każdym etapie / etapie w porównaniu z wielkością kroku, którą można zastosować w przypadku metod jawnych. Skuteczne rozwiązywanie takich układów algebraicznych jest aktywnym tematem badań. (Zadaj kolejne pytanie, a ja odpowiem na nie i znajdziesz tutaj).

Możesz także użyć metod niejawnych, jeśli:

• twoje równania mają znaczące stany ustalone, które chcesz zbadać bezpośrednio, być może w celu scharakteryzowania stabilności
• rozwiązujesz problemy odwrotności / asymilacji danych obejmujące długą historię
• chcesz ominąć bariery w zamówieniach, aby zastosować bardzo wysokie metody integracji czasu zamówienia o określonych właściwościach stabilności
• używasz metod adaptacyjnych czasoprzestrzennych
• korzystasz z dyskretyzacji przestrzennej, która już wymaga rozwiązania układu algebraicznego (np. metody ciągłych elementów skończonych ze spójną macierzą masy)