Jaki jest właściwy sposób włączenia do symulacji astronomicznych?

Tworzę prosty symulator astronomiczny, który powinien wykorzystywać fizykę newtonowską do symulacji ruchu planet w układzie (lub dowolnych obiektach, jeśli o to chodzi). Wszystkie ciała są okręgami na płaszczyźnie euklidesowej, które mają takie właściwości, jak położenie, prędkość, masa, promień i wynikowa siła.

Chcę aktualizować wszechświat w krótkich odstępach czasu, zwykle kilka milisekund, ale nie jestem pewien, jak poprawnie obliczyć zmiany położenia.

Siła jest prosta fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2).

Ale jak mam dalej?

Mógłbym to zrobić:

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

Ale to oczywiście byłoby fałszywe. Może gdybym dodał 0,5 jako czynnik do obliczania pozycji?

time-integration

— jcora
źródło

To zbyt zabawne, aby nie komentować: Rzeczywiście powszechnym problemem astronomicznym jest symulacja ruchu „roślin” ;-)

— Wolfgang Bangerth

Zasadniczo masz odpowiedź - nie potrzebujesz współczynnika 0,5.

Zasadniczo masz dwuwymiarowy układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu: gdzie wszystko jest funkcją czasu, z wyjątkiem przypuszczalnie, a kropki oznaczają pochodne czasu. Jeśli wykonasz proste różnicowanie pierwszego rzędu według esulera, znajdziesz

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{fa}{m}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$

m

$m$

lub

\begin{aligned} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{Δ t} & = v_{n} \\ \frac{v_{n + 1} - v_{n}}{Δ t} & = \frac{{fa}_{n}}{m}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$

Tutaj indeksuję znacznik czasu za pomocą

\begin{aligned} x_{n + 1} & = x_{n} + Δ t \cdot v_{n} \\ v_{n + 1} & = v_{n} + Δ t \frac{{fa}_{n}}{m} . \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$

n

$n$

$t_n$ $t_{n+1}$ $t_{n+1/2}$ $x_0$ $v_{1/2}$

\begin{aligned} x_{n + 1} & = x_{n} + Δ t \cdot v_{n + 1 / 2)} \\ v_{n + 1 / 2)} & = v_{n - 1 / 2)} + Δ t \frac{{fa}_{n}}{m} \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$

$v_{1/2}$ $v_0$

ω = \sqrt{\frac{sol M.}{r^{3)}}},

$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$

M

$M$

r

$r$

Hej, możesz wyjaśnić, dlaczego nie potrzebuję tego 0.5czynnika? Wydaje się, że robi to samo, co rejestrowanie prędkości n-1/2dtkilka sekund temu, co sugerujesz.

— jcora

(n - 1)

$(n-1)$

v_{n}

$v_n$

v_{n + 1}

$v_{n+1}$

v_{n}

$v_n$

0

$0$