Metody numeryczne dla nieciągłych ODE rs

15

jakie są najnowocześniejsze metody numerycznego rozwiązywania ODE z nieciągłą prawą stroną? Najbardziej interesują mnie częściowe gładkie funkcje prawej strony, np. Znak.

Próbuję rozwiązać równanie następującego typu:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : Inaczej \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— Andrey Shevlyakov
źródło

Cześć @AndreyShevlyakov i witamy w Scicomp! Czy jest jakaś szczególna klasa ODE, którą jesteś zainteresowany?

— Paweł

Cześć Paweł! Tak, obecnie próbuję wdrożyć rodzaj tarcia typu stick-slip.

— Andrey Shevlyakov

Czy mógłbyś uwzględnić równania, które chcesz rozwiązać w swoim pytaniu? Pomoże to zawęzić metody stosowane w przypadku problemu.

— Paweł

Dodałem przykład do postu

— Andriej Szewlyakow

1

Kiedy pracowałem nad ACSL, zawierał on root-finder, abyś mógł poszukać czasu, w którym prędkość była równa zeru, a następnie zacząć od nowa od nowa z nowym rhs.

— Mike Dunlavey,

13

Zobacz nową książkę Davida Stewarta (2011) na ten temat, Dynamika z nierównościami: uderzenia i twarde ograniczenia . Problemy z tarciem kulombowskim wymieniono kilkakrotnie w rozdziałach analizy.

Rozdział 8 poświęcony jest metodom numerycznym dla nie gładkich ODE i DAE. Opowiada się przede wszystkim za w pełni niejawnymi metodami Runge-Kutta ze specjalnym leczeniem nierównomierności. Uwaga Sekcja 8.4.4, która wskazuje, że jeśli nie zlokalizujesz dokładnie punktów braku gładkości, wszystkie metody obniżają się do dokładności pierwszego rzędu , dlatego ukryty Euler (z modyfikacjami dla braku gładkości) jest popularny w praktyce. Ponadto rozwiązania problemów z nieskończonymi nierównościami wymiarowymi nie są na ogół gładkie, dlatego teoria podaje tylko $\mathcal{O}(h)$ zbieżności, jednak w praktyce, $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ jest często obserwowany.

— Jed Brown
źródło

Wielkie dzięki! Czy wiesz, czy gdzieś są dostępne wdrożenia?

— Andrey Shevlyakov,

Nie wiem o tym, ale implementacja prostych schematów nie powinna być zbyt trudna, jeśli masz solver na statyczne nierówności wariacyjne.

— Jed Brown

10

Najważniejszym znanym mi odniesieniem jest teza Davida Stewarta, która ma ponad 20 lat:

Metody numeryczne o wysokiej dokładności dla zwykłych równań różniczkowych z nieciągłym prawym bokiem

Streszczenie odwołuje się do kilku znaczących wcześniejszych prac. Słowem kluczowym jest tutaj włączenie różnicowe .

— David Ketcheson
źródło

2

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

Na przykład, jeśli masz ruchomą masę z blokiem, odległość między masą a blokiem można wykorzystać jako funkcję przecięcia zera.

Wiele solverów ODE (np. CVDE SUNDIALS) automatycznie sprawdza, czy którakolwiek z funkcji przekraczania zera zmieniła swój znak podczas ostatniego kroku czasowego. W takim przypadku do znalezienia dokładnej lokalizacji katalogu głównego używana jest metoda znajdowania katalogu głównego. Solver można następnie zrestartować w tej konkretnej pozycji. Odbywa się to albo automatycznie przez solver, albo ręcznie przez kod wywołujący.

— Florian Brucker
źródło

Do celów wyszukiwania: można również mówić o „lokalizacji zdarzenia”; Hairer / Nørsett / Wanner ma miłą dyskusję na ten temat.

— JM