Wykładnicza macierz macierzy hamiltonowskiej

Niech będą rzeczywistymi, kwadratowymi, gęstymi macierzami. i są symetryczne. Pozwolić $A, G, Q$ $G$ $Q$

H. = [\begin{matrix} ZA & - sol \\ - Q & - {ZA}^{T.} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

być macierzą hamiltonowską. Chcę obliczyć potęgę naturalną o wykładniku macierzy . Potrzebuję wykładniczej pełnej macierzy, , nie tylko iloczynu macierzowego-wektorowego. Czy dostępne są jakieś wyspecjalizowane algorytmy lub biblioteki do obliczania wykładniczej macierzy hamiltonowskiej? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
źródło

Czy chcesz samej macierzy wykładniczej, czy po prostu chcesz rozwiązać ODE

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Potrzebuję samej wykładniczej macierzy. Lecz równoważnie można rozwiązać Ody

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

Eigensolwery zachowujące strukturę Bennera mogą poradzić sobie z transformacją podobieństwa w celu ułatwienia obliczania wykładniczego macierzy.

— percusse

@RichardZhang Brutalny sposób to rozkład QZ. Sprawdź na przykład zaczynając od link.springer.com/article/10.1007/s002110050315, aby uzyskać więcej informacji.

— percusse

Artykuł 19 Wątpliwe sposoby obliczania wykładniczej macierzy , 25 lat później, obejmuje wiele złych (i kilka dobrych) sposobów obliczania wykładniczej macierzy. Nie jest specyficzny dla problemów hamiltonowskich, ale mimo to jest naprawdę cenny, jeśli pracujesz nad tego rodzaju problemami.

— Daniel Shapero,

Odpowiedzi:

Bardzo szybka odpowiedź ...

Wykładnik macierzy hamiltonowskiej jest symplektyczny, właściwość, którą prawdopodobnie chciałbyś zachować, w przeciwnym razie po prostu użyłbyś metody nie zachowującej struktury. Rzeczywiście, nie ma rzeczywistej przewagi prędkości w stosowaniu metody strukturalnej, tylko zachowanie struktury.

Możliwy sposób rozwiązania problemu jest następujący. Pierwszy znaleźć symplektycznych matrycy tak, że jest Hamiltona i bloku górnej trójkątny i ma wartości własnych w lewej połowie płaszczyzny. Otrzymujesz tę macierz, na przykład biorąc , gdzie rozwiązuje równanie Riccati związane z $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ , lub (bardziej stabilny, ponieważ jest ortogonalny) poprzez zmianę kolejności rozkładu Schura i zastosowanie sztuczki Lauba (tj. zastąpienie jednolitego współczynnika Schur przez ). Możesz mieć problem z zrobieniem tego, jeśli Hamiltonian ma wartości własne na osi urojonej, ale to długa historia i na razie przypuszczam, że nie dzieje się tak w twoim problemie. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

Gdy trzeba trzeba , można obliczyć gdzie rozwiązuje pewne równania Lapunowa, uważam coś takiego $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

\exp (\hat{H.}) = [\begin{matrix} \exp (\hat{ZA}) & X \\ 0 & \exp (- {\hat{ZA}}^{T.}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(objawy mogą być uszkodzone, nakłada

i rozszerzają bloków w celu uzyskania prawidłowego równanie. Odszukaj „metodę Schur-Parletta”, aby znaleźć odniesienie do tej sztuczki).

\hat{ZA} X + X {\hat{ZA}}^{T.} = - \exp (\hat{ZA}) \hat{sol} - \hat{sol} \exp (- {\hat{ZA}}^{T.})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

Zatem trzy czynniki są dokładnie symplektyczne. Po prostu używaj ich osobno: nie obliczaj produktu, inaczej stracisz tę właściwość liczbowo.

— Federico Poloni
źródło

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ pochodzą z integralnego równania, które wyjaśni również ich gęstą strukturę i potencjał do kompresji (w zależności od jądra).

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Wady tego podejścia:

$A$ $G$ $Q$
nie korzysta ze struktury hamiltonowskiej

Zalety:

skompresowana reprezentacja macierzy wykładniczej, choć nadal jest to macierz, a nie tylko sposób na wykonanie MVP
złożoność liniowo-logarytmiczna (pod warunkiem, że istnieje założenie niskiej rangi)
biblioteka może skorzystać z transpozycji i symetrii w blokach

— Anton Menshov
źródło