Dekompozycja wartości własnej sumy: A (symetryczna) + D (przekątna)

Załóżmy, że jest prawdziwą macierzą symetryczną i podano jej rozkład wartości własnej Łatwo jest zobaczyć, co dzieje się z wartościami własnymi sumy gdzie jest stałą skalarną (patrz to pytanie ). Czy możemy wyciągnąć wnioski w ogólnym przypadku gdzie jest dowolną macierzą diagonalną? Dzięki. $A$ $V \Lambda V^T$ $A + cI$ $c$ $A + D$ $D$

Pozdrowienia,

Ivan

linear-algebra

— Ivan
źródło

Możesz uzyskać lepsze odpowiedzi, jeśli określisz, jakie wnioski Cię interesują.

— David Ketcheson

@DavidKetcheson, tak, masz absolutną rację. W rzeczywistości staram się znaleźć skuteczny sposób obliczenia sekwencji wykładniczej wykładniczej postaci

gdzie

jest stałe, a

są macierzami diagonalnymi. Miałem nadzieję, że dekompozycję wartości własnej

wykonam tylko raz, a następnie wykorzystam ją w jakiś sposób, aby uwzględnić korektę wprowadzoną przez macierze diagonalne. Niestety,

ogólnie nie dojeżdżają do pracy, więc

e^{A + D_{i}}

$e^{A + D_i}$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

A

$A$

A

$A$

D_{i}

$D_i$

e^{A + D_{i}} \neq e^{A} e^{D_{i}}

$e^{A + D_i} \neq e^A e^{D_i}$ . Byłbym wdzięczny za podzielenie się swoimi pomysłami. Dzięki.

— Ivan

Jest to powiązane z scicomp.stackexchange.com/questions/503/…

— Geoffrey Irving

Odpowiedzi:

Można powiedzieć bardzo niewiele, poza ogólnikami, takich jak, że wartości własne zmienia się w sposób ciągły z wpisów . $D$

Za pomocą obliczeń symbolicznych można zobaczyć w przypadku 2 na 2, że nie można oczekiwać niczego silnego.

— Arnold Neumaier
źródło

Dziękuję za odpowiedź, wiedziałem, że usłyszę coś takiego. Czy mogę prosić o zapoznanie się z moim komentarzem powyżej?

— Ivan

złożoność obliczania macierzy wykładniczej i złożoność obliczania faktoryzacji widmowej jest prawie taka sama. Więc nie, nie ma prostego rozwiązania. Co możesz jednak zrobić, jeśli macierze diagonalne leżą w podprzestrzeni lowD, aby obliczyć odpowiednią część wykładniczej (lub cokolwiek, co chcesz z niej obliczyć) dla szeregu konkretnych wyborów dobrze rozmieszczonych w twojej przestrzeni żądanych wartości, a następnie użyj algorytmu interpolacji do przybliżenia wszystkich pozostałych.

— Arnold Neumaier

A

$A$

e^{A}

$e^A$

V e^{Λ} V^{T}

$V e^\Lambda V^T$

A + D_{i}

$A + D_i$

D

$D$

Ming Gu i Stanley C. Eisenstat badali ten problem wcześniej, patrz link: http://www.cs.yale.edu/publications/techreports/tr916.pdf

Ten artykuł rozwiązuje problem permutacji pierwszego stopnia, który nie może rozwiązać tutaj problemu. Jeśli ktoś napotka problem permutacji na pierwszym miejscu, to pomaga.

— skyuuka
źródło

Dodanie macierzy diagonalnej nie jest poprawką pierwszego stopnia, więc nie jestem pewien, jak ten papier pomaga w tym przypadku.

— Christian Clason,

@ChristianClason: Racja! Po prostu to rozumiem. Dzięki za wskazanie tego!

— skyuuka