Jakie są kryteria wyboru między różnicami skończonymi a elementami skończonymi

Przyzwyczaiłem się myśleć o różnicach skończonych jako szczególnym przypadku elementów skończonych na bardzo ograniczonej siatce. Jakie są zatem warunki wyboru między metodą różnic skończonych (FDM) a metodą elementów skończonych (FEM) jako metodą numeryczną?

Po stronie metody różnic skończonych (FDM) można liczyć, że są one koncepcyjnie prostsze i łatwiejsze do wdrożenia niż metoda elementów skończonych (FEM). MES mają tę zaletę, że są bardzo elastyczne, np. Siatki mogą być bardzo niejednorodne, a domeny mogą mieć dowolny kształt.

Jedyny przykład, w którym wiem, że FDM okazał się lepszy od MES, to Celia, Bouloutas, Zarba , gdzie korzyść wynika z metody FD wykorzystującej inną dyskretyzację pochodnej czasu, którą można jednak naprawić dla metody elementu skończonego .

Możliwe jest zapisanie najbardziej specyficznych metod różnic skończonych jako metod elementów skończonych Petrowa-Galerkina z pewnym wyborem lokalnej rekonstrukcji i kwadratury, a większość metod elementów skończonych może być również wykazana jako algebraicznie równoważna z pewną metodą różnic skończonych. Dlatego powinniśmy wybrać metodę, w oparciu o którą strukturę analizy chcemy zastosować, jaką terminologię lubimy, jaki system rozszerzalności lubimy i jak chcielibyśmy tworzyć oprogramowanie. Poniższe uogólnienia są prawdziwe w przeważającej większości wariantów praktycznego zastosowania, ale wiele punktów można obejść.

Skończona różnica

Plusy

• wydajne wdrożenie bez kwadratur
• niezależność proporcji i lokalna ochrona niektórych schematów (np. MAC dla przepływu nieściśliwego)
• solidne nieliniowe metody transportu (np. ENO / WENO)
• Macierz M dla niektórych problemów
• dyskretna zasada maksimum dla niektórych problemów (np. mimetyczne różnice skończone)
• diagonalna (zwykle tożsamość) macierz mas
• niedrogie węzłowe zezwolenia resztkowe wydajna nieliniowa wielosieciowa (FAS)
• Komórkowe wygładzacze Vanka zapewniają wydajne wygładzacze bez matrycy dla nieściśliwego przepływu

Cons

• trudniejsze do wdrożenia „fizyki”
• naprzemienne siatki są czasami dość techniczne
• wyższe niż drugie zamówienie na nieustrukturyzowanych siatkach jest trudne
• brak ortogonalności Galerkina, więc trudniej jest dowieść konwergencji
• nie metoda Galerkina, więc dyskretyzacja i powiązania nie dojeżdżają do pracy (istotne dla optymalizacji i odwrotnych problemów)
• problemy z ciągłością samoadaptacyjną często dają macierze niesymetryczne
• rozwiązanie jest zdefiniowane tylko punktowo, więc rekonstrukcja w dowolnych lokalizacjach nie jest jednoznacznie zdefiniowana
• warunki brzegowe są zwykle trudne do wdrożenia
• nieciągłe współczynniki zwykle sprawiają, że metody są pierwsze
• szablon rośnie, jeśli fizyka obejmuje „pojęcia krzyżowe”

Końcowy element

Plusy

• Ortogonalność Galerkina (dyskretne rozwiązanie problemów przymusu mieści się w stałej najlepszego rozwiązania w przestrzeni)
• prosta geometryczna elastyczność
• nieciągły Galerkin oferuje solidny algorytm transportowy, dowolne zamówienie na nieustrukturyzowanych siatkach
• $L^2$
• łatwe do wdrożenia warunków brzegowych
• może wybrać deklarację konserwacyjną, wybierając przestrzeń testową
• dyskretyzacja i dojazdy do pracy (dla metod Galerkina)
• elegancki fundament w analizie funkcjonalnej
• w wysokim porządku, lokalne jądra mogą wykorzystywać strukturę produktu tensorowego, której brakuje w FD
• Kwadratura Lobatto może uczynić metody energooszczędne (zakładając symplektyczny integrator czasu)
• wysoka dokładność rzędu nawet przy nieciągłych współczynnikach, o ile można wyrównać do granic
• nieciągłe współczynniki wewnątrz elementów można dostosować za pomocą XFEM
• łatwa w obsłudze wiele warunków inf

Cons

• wiele elementów ma problemy z wysokim współczynnikiem kształtu
• ciągły MES ma problemy z transportem (SUPG jest dyfuzyjny i oscylacyjny)
• DG zwykle ma więcej stopni swobody dla tej samej dokładności (chociaż HDG jest znacznie lepszy)
• ciągły MES nie zapewnia tanich problemów węzłowych, więc nieliniowe wygładzacze mają znacznie gorsze stałe
• zwykle więcej niezerowych w zmontowanych matrycach
• muszą wybierać między spójną macierzą masy (niektóre ładne właściwości, ale ma pełną odwrotność, co wymaga niejawnego rozwiązania na krok czasu) i zbitą macierzą masy.

To pytanie może być zbyt ogólne, aby mieć sensowną odpowiedź. Większość osób, które odpowiedzą, zna tylko niektóre podzbiory wszelkiego rodzaju dyskretyzacji FD i FE, które można zastosować. Pamiętaj, że zarówno FD, jak i FE

• może być zaimplementowany na siatkach strukturalnych lub niestrukturalnych (patrz ten artykuł tylko dla jednego przykładu metody FD na siatce nieustrukturyzowanej)
• można rozszerzyć do dowolnej wysokiej dokładności (na wiele sposobów!)
• może być stosowany do dyskretyzacji w przestrzeni i / lub w czasie , być może w połączeniu
• używać funkcji lokalnych lub globalnych (te ostatnie prowadzą do metod spektralnych zarówno typu FD, jak i FE)
• może być oparty na ciągłej lub nieciągłej przestrzeni funkcji
• mogą być przestrzennie jawne lub dorozumiane
• mogą być tymczasowo jawne lub dorozumiane

Masz pomysł. Oczywiście w konkretnej dyscyplinie metody FD i FE, które ludzie często wdrażają i stosują, mogą mieć bardzo różne cechy. Ale zwykle nie wynika to z jakichkolwiek nieodłącznych ograniczeń dwóch podejść dyskretyzacyjnych.

W odniesieniu do schematów FD arbitralnie wysokiego rzędu: współczynniki schematów FD wysokiego rzędu mogą być generowane automatycznie dla dowolnego zamówienia; zobacz książkę LEVEQUE za , na przykład. Metody kolokacji widmowej, które są metodami FD, zbiegają się szybciej niż jakakolwiek moc odstępu między siatkami; patrz na przykład książka Trefethena .

Zalety elementów skończonych (FE):

• metoda wariacyjna (np. energie zawsze spadają wraz ze wzrostem „p” dla równania Schroedingera, co nie jest prawdą dla FD)
• celność przy wysokich zamówieniach (p = 50 więcej więcej)
• po wdrożeniu łatwo jest dokonać systematycznej konwergencji zarówno w „p”, jak iw „h” (w przeciwieństwie do specjalnych schematów FD dla każdego zamówienia)

Zalety różnic skończonych (FD):

• łatwiejsze do wdrożenia dla niższych zamówień
• być może szybszy niż FE dla mniejszych dokładności

Czasami ludzie mówią, że „różnice skończone” oznaczają integrator ODE, taki jak Runge-Kutta lub metoda Adamsa. W takim przypadku jest jeszcze jedna zaleta FD:

• możliwe bezpośrednie rozwiązywanie nieliniowych ODE

podczas gdy FE potrzebuje iteracji nieliniowej, takiej jak metoda Newtona.

Kilka ładnych odpowiedzi już stwierdziło, że zalety metod elementów skończonych są elastyczne i potężne, tutaj dam kolejną przewagę MES, z punktu widzenia przestrzeni Sobolewa i geometrii różnicowej, jest to, że możliwość przestrzeni elementów skończonych dziedzicząca warunek ciągłości fizycznej Przestrzenie Sobolewa, w których leży prawdziwe rozwiązanie.

Na przykład element czołowy Raviarta-Thomasa dla elastyczności płaskiej i mieszana metoda dyfuzji; Nédélec element krawędzi do obliczeniowej elektromagnetycznej.

$k$$L^2$

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ $\mathrm{d}$

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

zakres operatora jest pustą przestrzenią następnego operatora i istnieje wiele fajnych właściwości na ten temat, jeśli moglibyśmy zbudować przestrzeń elementów skończonych, aby odziedziczyć tę dokładną sekwencję de Rham, wówczas metoda Galerkina oparta na tej przestrzeni elementów skończonych będzie być stabilnym i zbliżyć się do prawdziwego rozwiązania. I moglibyśmy uzyskać właściwość stabilności i aproksymacji operatora interpolacji po prostu za pomocą diagramu dojazdów z sekwencji de Rham, a ponadto moglibyśmy zbudować procedurę szacowania błędu a posteriori i adaptacyjnej procedury uszlachetniania siatki w oparciu o tę sekwencję.

Więcej informacji na ten temat można znaleźć w artykule Douglasa Arnolda w Acta Numerica: „ Rachunek zewnętrzny elementu skończonego, techniki homologiczne i zastosowania ” oraz slajd krótko przedstawiający ten pomysł

Ważne jest, aby odróżniać schematy przestrzenne od czasowych.

Elementy skończone często używają różnic skończonych do całkowania terminów czasowych (np. Jawny Euler, niejawny, Crank-Nicholson lub Runga Kutta dla przejściowej dyfuzji) i elementów skończonych dla dyskretyzacji przestrzennej.

Elementy skończone dobrze nadają się do nieregularnych oczek. Mogą być oparte na zasadach wariacyjnych, ale zwykle są uogólnione przy użyciu metody ważonych reszt. Łatwo jest tworzyć biblioteki elementów, które używają różnych rzędów wielomianów i egzekwują ograniczenia, takie jak nieściśliwość za pomocą mnożników Lagrange'a.

Oba sformułowania są środkiem do celu: wyrażeniem równania różniczkowego w kategoriach układów równań i algebry liniowej.

Stwierdzenia dotyczące szybkości jednej metody w stosunku do drugiej wymagają kwalifikacji poprzez opis algorytmu. Na przykład rzucanie problemów mechanicznych jako problemów z dynamiką hiperboliczną może w niektórych przypadkach dawać szybsze wyniki, ponieważ zastępują one rozkład macierzy mnożeniem i dodawaniem.

Przyznaję, że wiem znacznie więcej na temat metod elementów skończonych niż różnic skończonych. FEM jest dostępny w pakietach komercyjnych i jest szeroko stosowany w przemyśle i środowisku akademickim do rozwiązywania problemów w mechanice bryłowej i przenoszeniu ciepła. Uważam, że różnice skończone lub podejścia do skończonej objętości są wykorzystywane w obliczeniowej dynamice płynów.