Powszechnie stosowane mierniki do oceny nieregularności siatki trójkątnej

Załóżmy, że masz trójkątną siatkę na płaskiej płaszczyźnie. Zostało to narysowane, aby w końcu rozwiązać jakiś problem na przykład w mechanice.

Siatka trójkątów równobocznych jest najlepsza, ponieważ odległości między wierzchołkami i między centroidami są takie same. To sprawia, że ​​interpolacje i obliczanie gradientów są łatwym i dokładnym zadaniem. Jednak ze względu na ograniczenia i okoliczności nie zawsze można pracować na siatce wszystkich trójkątów równobocznych.

Pytania dotyczą więc siatki trójkątnych elementów o dowolnym kształcie.

Dotyczące poszczególnych elementów siatki . Jakie mierniki są powszechnie stosowane do oceny ilościowej podobieństwa jednego trójkąta ogólnego do jakiegoś idealnego kształtu równobocznego?

Dotyczy całej siatki . Jakie mierniki są używane do obliczania nieregularności siatki arbitralnych trójkątów jako całości? Te wskaźniki powinny wskazywać, jak zakodowana jest siatka.

Dzięki za myślenie.

Uwaga: Wszystkie opinie społeczności elementów skończonych zostały bardzo docenione. W przypadku tego pytania należy zauważyć, że celem jest ilościowe określenie różnic wyłącznie w geometrii (dowolne trójkąty równoboczne). Późniejszy wpływ na błędy interpolacji i warunkowania jest poza zakresem. To prawda, że ​​mogą być wnikliwe i odpowiednie, komplikują matematyczne postępowanie.

Jak powiedzieli @Nicoguaro i @Paul w komentarzach do pytania, istnieje wiele sposobów na zrobienie tego rodzaju rzeczy i nie jestem pewien, czy istnieje jedno „najlepsze” podejście.

Na podstawie przeglądu recenzji Jonathana Richarda Shewchucka z Berkley odpowiedź brzmi:

Proszę odnieść się do oryginalnego dokumentu (wersja 31/12/2002) dla symboli, terminologii, cech specjalnych i ewentualnie innych (np. Czworościanów). Rozdział 6 dotyczy miar jakości. Dokument, do którego prowadzi link, jest wersją rozszerzoną, a na stronie JRS znajduje się również skrócona wersja.

Osobiście jestem fanem metryki „długość objętości”. Jest to dobry solidny wskaźnik skalarny (izotropowej) jakości simpleks i jest tani w obliczeniach. W dwóch wymiarach:

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

gdzie to podpisany obszar trójkąta, ato średnia-kwadratowa długość krawędzi. Idealne elementy osiągają wartość , która zmniejsza się do zera wraz ze wzrostem zniekształceń. Elementy odwrócone o odwróconej orientacji mają .$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

Aby ocenić jakość nieustrukturyzowanej triangulacji, typowe jest spojrzenie na histogramy takich wskaźników jakości elementu. Istnieje wiele implementacje takich rzeczy tam, ale jedna prosta MATLABkodu baza kopalni jest tutaj .

Oprócz wyników oceny objętości, domyślnie obliczane są również histogramy kątów elementu i stopnia wierzchołków.

Nie sądzę, że istnieje ogólna odpowiedź na to pytanie , ponieważ wszystko zależy od zamierzonego zastosowania siatki. Na przykład, jeśli wykonujesz obliczeniową dynamikę płynów, możesz chcieć mieć siatkę, która jest wyjątkowo anizotropowa w pobliżu warstwy granicznej. Teraz, jeśli wykonujesz elektromagnetyczne obliczenia, najlepsza siatka będzie prawdopodobnie zupełnie inna.

W literaturze istnieje wiele różnych definicji kryterium „jakości siatki”. Większość z nich faworyzuje siatki z trójkątami, które są jak najbardziej równoboczne. Można również wspomnieć o pomiarze maksymalizacji najmniejszego kąta (realizowanego przez triangulację Delaunaya dla ustalonego zestawu punktów). Jest to uzasadnione analizą Jonathana Shewchuka wspomnianą w jednym z komentarzy, która wiąże ten kąt z liczbą warunkową macierzy sztywności dla równania Laplace'a dyskretyzowanego z elementami P1, ale znowu, w zależności od zamierzonego zastosowania, czyjąś dobrą siatką może być ktoś słaba siatka innego.

Nie sądzę, aby miało sens „kwantyfikowanie różnic wyłącznie w geometrii (arbitralne vs trójkąty równoboczne)”: przed zmierzeniem, czy trójkąty są równoboczne i zdecydowaniem, które „odchylenie względem równouprawnienia” jest najlepsze, należy dowiedzieć się, czy „trójkąty równoboczne” są tym, czego chcemy, i nie zawsze tak jest! Wszystko wynika z „interpolacji i uwarunkowań”, o których wspominasz. Tak, jak powiedziałeś „komplikuje to matematykę”, ale bez tego nie można odróżnić obiektywnych kryteriów dla danego zastosowania od kryteriów, które w ogóle nie mają sensu.