Jak mogę oszacować niewłaściwą całkę?

13

Mam funkcję taką, że jest skończone i chcę aproksymować tę całkę. $f(x,y,z)$
$\int_{R^3} f(x,y,z)dV$

Znam zasady kwadratury i przybliżenia całek Monte Carlo, ale widzę pewne trudności z ich implementacją w nieskończonej dziedzinie. W przypadku Monte Carlo, w jaki sposób można próbować regionu nieskończonego (szczególnie jeśli regiony, które w większym stopniu przyczyniają się do całki są nieznane)? Jak w przypadku kwadratury znaleźć optymalne punkty? Czy powinienem po prostu naprawić arbitralnie duży region wyśrodkowany wokół źródła i zastosować rzadkie reguły kwadratury? Jak mogę podejść do przybliżenia tej całki?

monte-carlo quadrature

— Paweł
źródło

20

W jednym wymiarze możesz odwzorować swój przedział nieskończony na przedział skończony, używając integracji przez podstawienie, np

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{u^{- 1} (a)}^{u^{- 1} (b)} f (u (t)) u^{'} (t) d t

$\int_a^b f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad \int_{u^{-1}(a)}^{u^{-1}(b)}f(u(t))u'(t)\,\mathrm dt$

Gdzie jest funkcją, która przechodzi w nieskończoność w pewnym skończonym zakresie, np. : $u(x)$ $\tan(x)$

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 2 \int_{- π / 2}^{π / 2} f (\tan (t)) \frac{1}{\cos (2 t) + 1} d t

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm dx \quad=\quad 2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} f(\tan(t))\frac{1}{\cos(2t)+1} \,\mathrm dt$

Następnie można użyć dowolnej regularnej procedury liczbowej kwadratury dla zmodyfikowanej całki skończonej.

Zmiana wielu zmiennych jest nieco trudniejsze, ale jest dość dobrze opisane tutaj .

— Pedro
źródło

To bardzo interesujące ... Nigdy nawet nie zastanawiałem się nad możliwością zamiany! Ale czy wybór funkcji ma jakikolwiek wpływ na dokładność aproksymacji?

u (t)

$u(t)$

— Paul

@Paul: Tak, zdecydowanie! Funkcja powinna być tak płynna, jak to możliwe, aby utrzymać tak płynnie, jak to możliwe, umożliwiając w ten sposób dokładniejszą integrację.

u (t)

$u(t)$

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

To prawda, ale miałem na myśli szybkość, z jaką u (t) zbiega się w nieskończoność? Czy to również wpływa na dokładność?

— Paul

1

@Paul: Nie wiem, czy dobrze rozumiem twoje pytanie, ale funkcja musi skończyć się w nieskończoności w tym czy innym miejscu. Jeśli zajmie to trochę czasu, a następnie gwałtownie wzrośnie, wprowadzi to pewne duże gradienty w , co utrudni integrację i może w ten sposób wpłynąć na dokładność.

f (u (t))

$f(u(t))$

— Pedro

1

Twoja pochodna dla stycznej była błędna; Naprawiłem to.

— JM

11

Standardowym sposobem wykonania tego jest wyodrębnienie z wyrażenia dla wykładniczego wykładnika, przekształcenie go na , a następnie użycie reguł kwadratury Gaussa (lub Gaussa Kronroda) z tym jako wagą. Jeśli jest gładkie, zwykle daje to doskonałe wyniki. $f(x)$ $e^{-x^2}$ $f$

W to samo działa z wagą , a odpowiednie wzory kubaturowe można znaleźć, np. W książce Engelsa, kwadraturze numerycznej i kubaturze. $R^3$ $e^{-|x|^2}$

Formuły online znajdują się na stronie http://nines.cs.kuleuven.be/ecf/

— Arnold Neumaier
źródło

2

Działa to dobrze, jeśli twój integrand jest z grubsza exp (-x ^ 2). Jeśli twój integrand jest w przybliżeniu normalny, ale wyśrodkowany od początku, to podejście może źle działać.

— John D. Cook

1

e^{- x^{2}}

$e^{−x^2}$

7

Aby uzyskać jednowymiarową kwadraturę, możesz sprawdzić książkę na temat Quadpack (złota staruszka, ale nadal bardzo istotna w jednowymiarowej kwadraturze) i techniki zastosowane w algorytmie QAGI, automatyczny integrator dla nieskończonego zakresu.

Inną techniką jest formuła kwadraturowa z podwójną wykładniczą, ładnie zaimplementowana przez Oourę na nieskończony czas .

W kwestii kubatury można zajrzeć do Encyklopedii wzorów kubaturowych autorstwa Ronalda Coolsa.

— GertVdE
źródło

2

Zauważ, że podwójna wykładnicza kwadratura jest w istocie metodą podstawienia; dokonujesz podstawienia, które przekształca całkę o nieskończonym zakresie w inną całkę o nieskończonym zakresie, której szybkość rozpadu jest, cóż, podwójnie wykładnicza ...

— JM

1

@JM Prawidłowe. Robisz to, aby jak najlepiej wykorzystać formułę sumowania Eulera-Mclaurina dla reguły trapezoidalnej, podobnie jak transformacja IMT i transformacja TANH. Miły artykuł na temat historii DE napisany przez jednego z ojców-założycieli można znaleźć tutaj

— GertVdE

6

$f(x)$ $\tilde f(x)$ $\tilde f$ $f$

$f(x)$ $\tilde f(x)=e^{-x^2}p(x)$ $p(x)$ $f(x)e^{x^2}$ $\int_{-\infty}^{\infty} \tilde f(x) dx$

— Wolfgang Bangerth
źródło

4

Jeśli chcesz skorzystać z integracji Monte Carlo, możesz zacząć od ważnego próbkowania z próbnikiem, który w przybliżeniu przybliża twoją integrand. Im lepiej twój próbnik pasuje do twojej całki, tym mniejsza wariancja w twoich całkowitych oszacowaniach. Nie ma znaczenia, że domena jest nieskończona, o ile sampler ma tę samą domenę.

— John D. Cook
źródło