Konwergencja niemonotoniczna w problemie punktu stałego

tło

Rozwiązuję wariant równania Ornsteina-Zernike z teorii płynów. Abstrakcyjnie problem można przedstawić jako rozwiązanie problemu punktu stałego , gdzie A jest operatorem alegbraicznym integro, a c ( r ) jest funkcją rozwiązania (funkcja korelacji bezpośredniej OZ). Rozwiązuję za pomocą iteracji Picarda, w której zapewniam wstępne rozwiązanie próbne c 0 ( r ) i generuję nowe rozwiązania próbne według schematu c j + 1 = α $A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$ gdzie α jest regulowanym parametrem, który kontroluje mieszankę c i A c stosowaną w następnym roztworze próbnym. W tej dyskusji załóżmy, że wartość α jest nieistotna. Powtarzam, aż iteracja zbiega się w pożądanej tolerancji, ϵ : Δ j + 1 ≡ ∫ d → r | c j + 1 ( r ) -

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$$Ac$$\alpha$$\epsilon$ W moim wariancie problemu A zależy od parametru λ , a moje pytanie dotyczy tego, w jaki sposób zbieżność A c = c zależy od tego parametru. $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

W przypadku szerokiego zakresu wartości dla powyższy schemat iteracji zbiega się wykładniczo szybko. Jednak, gdy zmniejszam λ , w końcu dochodzę do reżimu, w którym konwergencja nie jest monotoniczna, jak pokazano poniżej. $\lambda$$\lambda$

Kluczowe pytania

Czy w iteracyjnych rozwiązaniach problemów ze stałymi punktami konwergencja niemonotoniczna ma jakieś szczególne znaczenie? Czy to oznacza, że ​​mój plan iteracji jest na granicy niestabilności? Co najważniejsze , czy konwergencja niemonotoniczna powinna mnie podejrzewać, że rozwiązanie „konwergentne” nie jest dobrym rozwiązaniem problemu punktu stałego?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Jeśli twoje rozwiązanie zbiegło się w ramach właściwie ustalonej tolerancji względnej, która uwzględnia także małe liczby, to tak jest.