Stan CFL w nieciągłych schematach Galerkina

Wdrożyłem nieciągły schemat ADER-Galerkina do rozwiązywania liniowych systemów praw zachowania tego typu $\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$i zauważył, że warunek CFL jest bardzo restrykcyjny. W bibliografii górna granica kroku czasu$\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$ można znaleźć gdzie $h$ to rozmiar komórki, $d$ to liczba wymiarów i $N$ jest maksymalnym stopniem wielomianów.

Czy jest jakiś sposób na obejście tego problemu? Pracowałem z programami WENO-ADER Finite Volume, a ograniczenia CFL były znacznie łagodniejsze. Na przykład, dla schematu 5-go rzędu, CFL poniżej 0,04 musi być narzucony przy użyciu DG, podczas gdy CFL = 0,4 może być nadal stosowany w schemacie WENO-ADER FV.

Dlaczego warto stosować schematy DG zamiast ADER-FV, na przykład w obliczeniach aeronautycznych (zlinearyzowane równania Eulera) lub podobnych zastosowaniach (dynamika gazu, płytka woda, magnetohydrodynamika)? Czy całkowity koszt obliczeniowy programu jest podobny do kosztu ADER-FV, pomimo znacznie krótszego czasu?

Myśli i sugestie na ten temat są mile widziane.

Ograniczające CFL schematów DG zazwyczaj wynika z połączenia wysokiej dokładności rzędu i zwartej matrycy (patrz na przykład ten odnośnik ). CFL zależy od ograniczenia formy wariacyjnej pod względem$L^2$norma rozwiązania, która zależy od pochodnej i śladów wielomianów. Granice dla każdej z tych wielkości (stosując nierówności braci Bernsteina lub Markowa i nierówności śladowe dyskretne) dają stałe, które zależą odwrotnie$h$ i kwadratowo na zamówienie $N$, co daje ogólną CFL wynoszącą $O(h/N^2)$.

Do Twojej wiadomości - widziałem CFL, o którym wspominałeś wcześniej, ale nie pamiętam, gdzie to udowodniono. Chciałbym wiedzieć, jak unikają kwadratowej zależności$N$ w ich granicach.

Różnice skończone i schematy WENO (jak również metody elementów skończonych oparte na splajnie B na siatkach okresowych) mają luźniejsze warunki CFL, ponieważ stałe w analogicznych granicach rosną wolniej w $N$. Dzieje się tak, ponieważ rozmiar szablonu ma tendencję do zwiększania się wraz z kolejnością$N$, co zmniejsza niektóre z tych problemów.

Metody DG są droższe, ale łatwo radzą sobie z nieustrukturyzowanymi siatkami i można je skutecznie wdrożyć. Istnieją wersje WENO wyższego rzędu (lub podobne rekonstrukcje) dla nieustrukturyzowanych siatek, chociaż mogą one powodować dodatkowe komplikacje matematyczne lub implementacyjne.