Czy istnieje algorytm numeryczny pozwalający znaleźć asymptotyczne nachylenie?

Mam serię punktów danych których spodziewam się (w przybliżeniu) podążania za funkcją która asymptota do linii na dużym . Zasadniczo zbliża się do zera jako x \ do \ infty i to samo można prawdopodobnie powiedzieć o wszystkich pochodnych f '(x) , f' '(x) itp. Ale nie wiem, jaka jest forma funkcjonalna dla f (x) , jeśli nawet ma taką, którą można opisać w kategoriach funkcji elementarnych.$(x_i,y_i)$$y(x)$$x$$f(x) \equiv y(x) - (ax + b)$$x \to \infty$$f'(x)$$f''(x)$$f(x)$

Moim celem jest jak najlepsze oszacowanie asymptotycznego nachylenia $a$ . Oczywistą metodą wstępną jest wybranie kilku ostatnich punktów danych i wykonanie regresji liniowej, ale oczywiście będzie to niedokładne, jeśli $f(x)$ nie stanie się „wystarczająco płaskie” w zakresie $x$ dla którego mam dane. Oczywistą, mniej prymitywną metodą jest założenie, że $f(x) \approx \exp(-x)$ (lub jakaś inna szczególna forma funkcjonalna) i pasuje do tego przy użyciu wszystkich danych, ale proste funkcje, które wypróbowałem jak $\exp(-x)$ lub $\dfrac1{x}$ nie do końca pasują do danych przy dolnej $x$ gdzie $f(x)$jest wielki. Czy istnieje znany algorytm określania asymptotycznego nachylenia, który byłby lepszy, lub który mógłby zapewnić wartość nachylenia wraz z przedziałem ufności, biorąc pod uwagę moją wiedzę o tym, jak dokładnie dane zbliżają się do asymptoty?

Tego rodzaju zadania często pojawiają się w mojej pracy z różnymi zestawami danych, więc najbardziej interesują mnie ogólne rozwiązania, ale na żądanie łączę się z konkretnym zestawem danych, który spowodował to pytanie. Jak opisano w komentarzach, algorytm Wynn $\epsilon$ podaje wartość, która, o ile mogę stwierdzić, jest nieco wyłączona. Oto fabuła:

(Wygląda na to, że przy wysokich wartościach x jest lekka krzywa w dół, ale model teoretyczny tych danych przewiduje, że powinna być asymptotycznie liniowa.)

Jest to dość szorstki algorytm, ale zastosowałbym następującą procedurę do przybliżonego oszacowania: jeśli, jak mówisz, rzekome które reprezentuje twoje jest już prawie liniowe, gdy wzrasta, co ja ' d zrobić to wziąć różnice , a następnie użyć algorytmu ekstrapolacji, takiego jak transformacja Shanksa, aby oszacować granicę różnic. Wynik jest, mam nadzieję, dobrym oszacowaniem tego asymptotycznego stoku.$f(x)$$(x_i,y_i)$$x$$\dfrac{y_{i+1}-y_i}{x_{i+1}-x_i}$

Poniżej znajduje się demonstracja Mathematica . Algorytm Wynn jest wygodną implementacją transformacji Shanksa i jest wbudowany jako (ukryta) funkcja . Wypróbowujemy procedurę dotyczącą tej funkcji$\epsilon$SequenceLimit[]

xdata = RandomReal[{20, 40}, 25];
ydata = Table[(3 + 13*E^(4*x) + 6*E^(4*x)*x + x^2 + 3*E^(4*x)*x^2 + 
      2*E^(4*x)*x^3)/(E^(4*x)*(3 + x^2)), {x, xdata}];

SequenceLimit[Differences[ydata]/Differences[xdata],
              Method -> {"WynnEpsilon", Degree -> 2}]
1.999998

Równie dobrze mogę pochwalić się, jak prosty jest algorytm:

wynnEpsilon[seq_?VectorQ] := 
 Module[{n = Length[seq], ep, res, v, w}, res = {};
  Do[ep[k] = seq[[k]];
   w = 0;
   Do[v = w; w = ep[j];
    ep[j] = 
     v + (If[Abs[ep[j + 1] - w] > 10^-(Precision[w]), ep[j + 1] - w, 
         10^-(Precision[w])])^-1;, {j, k - 1, 1, -1}];
   res = {res, ep[If[OddQ[k], 1, 2]]};, {k, n}];
  Flatten[res]]

Last[wynnEpsilon[Differences[ydata]/Differences[xdata]]]
1.99966

Ta implementacja została zaadaptowana z pracy Wenigera .