Przydatność elementów o stabilności zależnej od siatki

Po wykonaniu około matematyki związane ze stabilnością elementów problemu 3D Stokesa I nieznacznie szoku sobie sprawę, że nie jest stabilna przez dowolną czworościenne siatki. Mówiąc dokładniej, jeśli masz element, w którym wszystkie węzły i trzy z czterech aspektów leżą na granicy domeny z warunkiem Dirichleta, otrzymujesz pojedynczą macierz. Jest to w rzeczywistości dość trywialne wyciąganie wniosków ze słabej formy systemu Stokesa. $P_2-P_1$

Przetestowałem jedyny komercyjny kod Stokesa, do którego mam dostęp (COMSOL), co pozwoliło mi stworzyć taką siatkę. Po kliknięciu przycisku rozwiązywania pojawia się komunikat „Błąd: macierz osobliwa”, zgodnie z oczekiwaniami. (Mam wrażenie, że COMSOL używa modułów do pełzającego modułu przepływu.) $P_2-P_1$

Aby dalej przetestować, że problem nie był związany z innymi konfiguracjami, wypróbowałem następującą siatkę i wszystko działa zgodnie z oczekiwaniami.

Pytania: Czy tego rodzaju ograniczenia są uwzględniane w (adaptacyjnych lub nieadaptacyjnych) generatorach siatki? Z różnych prac naukowych wynika, że element ten wydaje się dość popularny. Czy tego rodzaju niestabilności graniczne są na ogół pomijane jako nieistotne przy wyborze metody do zastosowania? Co ważniejsze, co tak naprawdę oznacza mieć stabilny element skończony , tj. Jakiego rodzaju niestabilności zależne od siatki są zbyt duże, aby dojść do wniosku, że metoda jest zła?

stability navier-stokes unstructured-mesh

— knl
źródło

Interesujące pytanie! O ile mi wiadomo, elementy te zwykle wynikają ze strukturalnego generowania siatki czworościennej na kostkach i tym podobne i odgrywają jedynie niewielką rolę w rzeczywistych aplikacjach, w których masz nieustrukturyzowane algorytmy nodalizacji. Próbowałem już jakiś czas temu i nie byłem w stanie wyprodukować takiej siatki z generatorem siatki wytwarzającym całkowicie nieustrukturyzowane siatki. Podejrzewam, że wykorzystują mechanizm pozwalający uniknąć takich nadmiernie ograniczonych elementów. Nie mam dostępu do COMSOL, ale wydaje mi się, że dla większości solverów element ten nie stanowi poważnego problemu.

— Christian Waluga

Zastanawiam się, czy to też jest problem z elementem MINI?

— Daniel Shapero

(\nabla \cdot v, p) = 0 \forall v \in V_{h} \Rightarrow p = global const.

$(\nabla\cdot v, p)=0~\forall v \in V_h \Rightarrow p =\text{global const.}$

p (x, y) = a + b x + c y

$p(x,y)=a+bx+cy$

v = (b ϕ, c ϕ)

$v=(b\phi,c\phi)$

ϕ

$\phi$

p

$p$

Problem ten pojawia się również w 2D, gdy wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na granicy. Problem Stokesa nie jest jedynym problemem, który może zawieść z takimi siatkami, a $p$ $p$

Generatory siatki mają zazwyczaj możliwość obsługi tego, np. Generator siatki 2D bamg of freefem++posiada -splitpbedgeopcję, która dodaje węzeł w środku każdej krawędzi posiadającego oba końce na granicy. Zgodnie z bamgdokumentacją, nieustrukturyzowane generowanie siatki może zwrócić takie trójkąty.

— Joce
źródło

Czy jesteś pewien, że tak jest w przypadku np. Taylor-Hooda w 2D Stokes? Moja intuicja mówi mi, że DOF związany z krawędzią ratuje sytuację. W 3D Taylor-Hood nie ma DOF związanego z aspektem, dlatego występuje niestabilność.

— knl

Masz rację, może tak być. Myślę, że dowód Verfuhrta na inf-sup dla Taylor-Hooda jest wystarczająco konstruktywny, aby to sprawdzić, ale nie ma teraz czasu.

— Joce,