Ilustrujące przykłady metod mimetycznych różnic skończonych

Chociaż staram się znaleźć zwięzłe wyjaśnienie w Internecie, nie mogę pojąć pojęcia mimetycznej skończonej różnicy ani tego, w jaki sposób odnosi się ona do standardowych różnic skończonych. Naprawdę pomocne byłoby zobaczenie kilku prostych przykładów ich implementacji w klasycznych liniowych PDE (hiperbolicznych, eliptycznych i parabolicznych).

Nie jestem pewien, czy jest to odpowiedź, której chciałeś, ale widząc, że nikt inny nie odpowiedział, mogę wspomnieć o GPL'd MATLAB Reservoir Toolbox , który wykorzystuje solimery mimetyczne do równań ciśnienia w symulacji zbiornika. Widząc to równanie, redukuje się do typowego równania testu eliptycznego, Δp=0(Poissona) dla stałego stosunku przepuszczalności / lepkości, prawdopodobnie można uzyskać pewne zrozumienie z solverów MRST. MRST obsługuje całkowicie nieustrukturyzowane siatki przy użyciu różnych metod mimetycznych, przy czym mimetyk odnosi się tutaj do naśladowania wewnętrznego produktu wymaganego do utworzenia równań bilansu masy. Prawdopodobnie nie będzie konieczne zrozumienie symulacji zbiorników, aby to zrozumieć.

Dobry przykład na początek opisano tutaj . Dołączone przykłady wykorzystują funkcję skryptu blokowego MATLAB-a, w której można użyć Shift-Enter, aby przechodzić między krokami i sprawdzać dane na każdym kroku.

Odpowiednie artykuły można znaleźć tutaj . Pierwszy artykuł omawia sformułowanie mimetycznego produktu wewnętrznego, dzięki czemu można go przeczytać razem z kodem. Jeśli nie masz MATLAB lub nie znasz języka, prawdopodobnie nie jest to bardzo pomocne - ale myślę, że proste przykłady powinny być również kompatybilne z Octave.

Istnieje teza magisterska „Porównanie schematów mimetycznych i dwupunktowych aproksymacji strumienia na siatkach PEBI”, która omawia niektóre szczegóły, aw szczególności rozdział 7.3 omawia ręcznie mały przykład.

Metoda operatorów wsparcia (SOM) wykorzystuje fakt, że większość równań różniczkowych cząstkowych jest sformułowana w kategoriach rozbieżności operatorów różnicowych $\nabla\cdot$, gradient $\nabla$i curl $\nabla\times$. SOM zapewnia podejście do różnicowania przestrzennego poprzez konstruowanie dyskretnych analogów wyżej wymienionych operatorów różnicowych. Operatory dyskretne spełniają dyskretne wersje ważnych tożsamości różnicowych i integralnych spełniane przez operatory kontinuum. Zasadniczo SOM konstruuje dyskretną wersję rachunku różniczkowego operatora.

Konstrukcja rachunku dyskretnego przebiega w dwóch etapach. Najpierw wybieramy dyskretną formę dla jednego z podstawowych operatorów, zwanego operatorem głównym . Następnie, w oparciu o pewien podzbiór różnicowych i integralnych tożsamości, które zdecydujemy się zachować, konstruujemy inne podstawowe operatory, nazywane pochodnymi operatorami . Wybór głównego operatora zależy od zastosowania i dyskretyzacji. W pewnym sensie operator główny „wspiera” konstrukcję operatorów pochodnych. Prawa zachowania, symetrie rozwiązań i relacje między operatorami różnicowymi są przykładami właściwości, które chcemy, aby operatory dyskretne naśladowały.

Na przykład dyskretyzacja SOM równania dyfuzji liniowej naśladowałaby dyskretyzacja mimetyczna

1. Twierdzenie Gaussa-Greena o egzekwowaniu lokalnego prawa ochrony
2. Negatywny związek sąsiadujący między operatorami strumienia i dywergencji, $-\textbf{K}\nabla = (\nabla\,\cdot)^{*}$
3. Gwarantowana symetria i dodatni iloczyn dyskretnej dywergencji i dyskretnego strumienia
4. Przestrzeń zerowa operatora strumienia dyskretnego to funkcje stałe.

Pełne informacje na temat dyskretyzacji mimetycznej równania dyfuzyjnego są dostępne w 1D lub 2D .

Zobacz tezę Jerome Bonelle, która jest dostępna na jego stronie internetowej lub bezpośrednio tutaj . Odkryłem, że jego rozdziały 2–4 są dość łatwe do odczytania i stanowią miłe wprowadzenie. Mówi także o dwóch przykładach, jednym eliptycznym PDE i równaniach Stokesa.