Jak wdrożyć wydajną funkcję indeksowania dla dwóch całek cząstek <ij | kl>?

Jest to prosty problem z wyliczaniem symetrii. Podaję tutaj pełne tło, ale nie jest wymagana znajomość chemii kwantowej.

Integralną dwóch cząstek jest: $\langle ij|kl\rangle$ I ma następujące 4 symetrie: Mam funkcję, która oblicza całki i zapisuje je w tablicy 1D, indeksowane, co następuje:

⟨ i j | k l ⟩ = \int \frac{ψ_{i}^{*} (x) ψ_{j}^{*} (x^{'}) ψ_{k} (x) ψ_{l} (x^{'})}{| x - x^{'} |} d^{3} x d^{3} x^{'}

$\langle ij|kl\rangle = \int {\psi_i^*({\bf x})\psi_j^*({\bf x}')\psi_k({\bf x})\psi_l({\bf x}') \over | {\bf x} - {\bf x}' |}\, d^3 x \,d^3 x'$

⟨ i j | k l ⟩ = ⟨ j i | l k ⟩ = ⟨ k l | i j ⟩ = ⟨ l k | j i ⟩

$\langle ij|kl\rangle = \langle ji|lk\rangle = \langle kl|ij\rangle = \langle lk|ji\rangle$ int2

int2(ijkl2intindex2(i, j, k, l))

gdzie funkcja ijkl2intindex2zwraca unikalny indeks, biorąc pod uwagę powyższe symetrie. Jedynym wymaganiem jest to, że jeśli zapętlisz wszystkie kombinacje i, j, k, l (od 1 do n każda), wypełni ona int2tablicę kolejno i przypisze ten sam indeks do wszystkich kombinacji ijkl, które są powiązane powyższym 4 symetrie.

Moja obecna implementacja w Fortran jest tutaj . To jest bardzo wolne. Czy ktoś wie, jak to zrobić skutecznie? (W dowolnym języku.)

$\psi_i({\bf x})$ $i\leftrightarrow k$ $j\leftrightarrow l$

⟨ i j | k l ⟩ = ⟨ j i | l k ⟩ = ⟨ k j | i l ⟩ = ⟨ i l | k j ⟩ =

$\langle ij|kl\rangle = \langle ji|lk\rangle = \langle kj|il\rangle = \langle il|kj\rangle =$

= ⟨ k l | i j ⟩ = ⟨ l k | j i ⟩ = ⟨ i l | k j ⟩ = ⟨ k j | i l ⟩

$= \langle kl|ij\rangle = \langle lk|ji\rangle = \langle il|kj\rangle = \langle kj|il\rangle$

$i$ $j$ $k$ $l$ $(ij|kl) = \langle ik|jl\rangle$ $j$ $k$

algorithms performance

— Ondřej Čertík
źródło

d^{3} x

$d^3x$

d^{3} x

$d^3 x$

d x_{1} d x_{2} d x_{3}

$d x_1 d x_2 d x_3$

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

${\bf x} = (x_1, x_2, x_3)$

d^{3} x

$d^3 x$

x

$x$

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})

$\mathbf{x} =(x_1,x_2,x_3)$

d x

$\mathrm{d}\mathbf{x}$

d^{3} x

$d^3 x$

Odpowiedzi:

[Edytuj: Czwarty raz to urok, w końcu coś sensownego]

$n$ $n^2(n^2+3)$ $t(t(n))+t(t(n-1))$ $t(a)$ $a$ $t(a)=a(a+1)/2$

$i \ge j$ $tid(i,j) \ge tid(k,l)$ $tid(a,b)$ $a,b$

def ascendings(n):
    idx = 0
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,i+1):
            for k in range(1,i):
                for l in range(1,k+1):
                    idx = idx + 1
                    print(i,j,k,l)
            k=i
            for l in range(1,j+1):
                idx = idx + 1
                print(i,j,k,l)
    return idx

$l$ $l$ $k$

$t(t(n-1))$

def mixcendings(n):
    idx = 0
    for j in range(2,n+1):
        for i in range(1,j):
            for k in range(1,j):
                for l in range(1,k):
                    print(i,j,k,l)
                    idx = idx + 1
            k=j
            for l in range(1,i+1):
                print(i,j,k,l)
                idx = idx + 1
    return idx

Połączenie obu tych elementów daje pełny zestaw, więc połączenie obu pętli daje nam pełny zestaw wskaźników.

$n$

W pythonie możemy napisać następujący iterator, aby podać nam wartości idx i i, j, k, l dla każdego innego scenariusza:

def iterate_quad(n):
    idx = 0
    for i in range(1,n+1):
        for j in range(1,i+1):
            for k in range(1,i):
                for l in range(1,k+1):
                    idx = idx + 1
                    yield (idx,i,j,k,l)
                    #print(i,j,k,l)
            k=i
            for l in range(1,j+1):
                idx = idx + 1
                yield (idx,i,j,k,l)

    for i in range(2,n+1):
        for j in range(1,i):
            for k in range(1,i):
                for l in range(1,k):
                    idx = idx + 1
                    yield (idx,i,j,k,l)
            k=i
            for l in range(1,j+1):
                idx = idx + 1
                yield (idx,i,j,k,l)

$i n^3 + j n^2 + k n + l$

integer function squareindex(i,j,k,l,n)
    integer,intent(in)::i,j,k,l,n
    squareindex = (((i-1)*n + (j-1))*n + (k-1))*n + l
end function

integer function generate_order_array(n,arr)
    integer,intent(in)::n,arr(*)
    integer::total,idx,i,j,k,l
    total = n**2 * (n**2 + 3)
    reshape(arr,total)
    idx = 0
    do i=1,n
      do j=1,i
        do k=1,i-1
          do l=1,k
            idx = idx+1
            arr(idx) = squareindex(i,j,k,l,n)
          end do
        end do
        k=i
        do l=1,j
          idx = idx+1
          arr(idx) = squareindex(i,j,k,l,n)
        end do
      end do
    end do

    do i=2,n
      do j=1,i-1
        do k=1,i-1
          do l=1,j
            idx = idx+1
            arr(idx) = squareindex(i,j,k,l,n)
          end do
        end do
        k=i
        do l=1,j
          idx = idx+1
          arr(idx) = squareindex(i,j,k,l,n)
        end do
      end do
    end do

    generate_order_array = idx
  end function

A następnie zapętlić go tak:

maxidx = generate_order_array(n,arr)
do idx=1,maxidx
  i = idx/(n**3) + 1
  t_idx = idx - (i-1)*n**3
  j = t_idx/(n**2) + 1
  t_idx = t_idx - (j-1)*n**2
  k = t_idx/n + 1
  t_idx = t_idx - (k-1)*n
  l = t_idx

  ! now have i,j,k,l, so do stuff
  ! ...
end do

— Phil H.
źródło

Cześć Phil, wielkie dzięki za odpowiedź! Przetestowałem to i są dwa problemy. Na przykład idx_all (1, 2, 3, 4, 4) == idx_all (1, 2, 4, 3, 4) = 76. Ale <12 | 34> / = <12 | 43>. Jest równy tylko wtedy, gdy orbitale są prawdziwe. Więc twoje rozwiązanie wydaje się być w przypadku 8 symetrii (zobacz mój przykład Fortran powyżej, aby uzyskać prostszą wersję, ijkl2intindex ()). Drugi problem polega na tym, że wskaźniki nie są kolejne, wkleiłem wyniki tutaj: gist.github.com/2703756 . Oto poprawne wyniki z powyższej procedury ijkl2intindex2 (): gist.github.com/2703767 .

— Ondřej Čertík

@ OndřejČertík: Chcesz skojarzyć znak? niech idxpair zwróci znak, jeśli zmieniłeś zamówienie.

— Deathbreath

OndřejČertík: Teraz widzę różnicę. Jak wskazuje @Deathbreath, możesz zanegować indeks, ale nie będzie to tak czyste dla całej pętli. Zastanowię się i zaktualizuję.

— Phil H

W rzeczywistości zanegowanie indeksu nie będzie w pełni działać, ponieważ idxpair błędnie poda wartość.

— Phil H

< i j | k l >= - < j i | k l >= - < i j | l k >=< j i | l k >

$<ij|kl>=-<ji|kl>=-<ij|lk> =<ji|lk>$

i j k l [i d x p a i r (i n d e x_{i j}, i n d e x_{k l},,)] s i g n_{i j} s i g n_{k l}

$ijkl[idxpair(index_{ij},index_{kl},,)]sign_{ij}sign_{kl}$

Oto pomysł użycia prostej krzywej wypełniania spacji zmodyfikowanej w celu zwrócenia tego samego klucza dla przypadków symetrii (wszystkie fragmenty kodu znajdują się w pythonie).

# Simple space-filling curve
def forge_key(i, j, k, l, n): 
  return i + j*n + k*n**2 + l*n**3

# Considers the possible symmetries of a key
def forge_key_symmetry(i, j, k, l, n): 
  return min(forge_key(i, j, k, l, n), 
             forge_key(j, i, l, k, n), 
             forge_key(k, l, i, j, n), 
             forge_key(l, k, j, i, n))

Uwagi:

Przykładem jest python, ale jeśli wstawisz funkcje do kodu fortran i rozwiniesz wewnętrzną pętlę dla (i, j, k, l), powinieneś uzyskać przyzwoitą wydajność.
Możesz obliczyć klucz za pomocą liczb zmiennoprzecinkowych, a następnie przekonwertować klucz na liczbę całkowitą, aby użyć go jako indeksu, co pozwoliłoby kompilatorowi na użycie jednostek zmiennoprzecinkowych (np. AVX jest dostępny).
Jeśli N jest potęgą 2, mnożenia byłyby tylko przesunięciami bitowymi.
Traktowanie symetrii nie jest wydajne w pamięci (tj. Nie powoduje ciągłego indeksowania) i zużywa około 1/4 wszystkich wpisów tablicy indeksów.

Oto przykładowy test dla n = 2:

for i in range(n):
  for j in range(n):
    for k in range(n):
      for l in range(n):
        key = forge_key_symmetry(i, j, k, l, n)
        print i, j, k , l, key

Dane wyjściowe dla n = 2:

i j k l key
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 1
0 0 1 1 3
0 1 0 0 1
0 1 0 1 5
0 1 1 0 6
0 1 1 1 7
1 0 0 0 1
1 0 0 1 6
1 0 1 0 5
1 0 1 1 7
1 1 0 0 3
1 1 0 1 7
1 1 1 0 7
1 1 1 1 15

Jeśli jest to interesujące, funkcją odwrotną do forge_key jest:

# Inverse of forge_key
def split_key(key, n): 
  d = key / n**3
  c = (key - d*n**3) / n**2
  b = (key - c*n**2 - d*n**3) / n 
  a = (key - b*n - c*n**2 - d*n**3)
  return (a, b, c, d)

— fcruz
źródło

Czy chodziło Ci o „jeśli n jest potęgą 2” zamiast wielokrotności 2?

— Aron Ahmadia

tak, dzięki Aron. Napisałem tę odpowiedź tuż przed pójściem na obiad, a Hulk pisał.

— fcruz

Sprytny! Czy jednak nie jest maksymalny indeks n ^ 4 (lub n ^ 4-1, jeśli zaczynasz od 0)? Problem polega na tym, że dla rozmiaru podstawowego, który chcę mieć, nie zmieści się on w pamięci. Przy kolejnym indeksie rozmiar tablicy wynosi n ^ 2 * (n ^ 2 + 3) / 4. Hm, to i tak tylko około 1/4 pełnego rozmiaru. Więc może nie powinienem martwić się współczynnikiem 4 zużycia pamięci. Nadal jednak musi być jakiś sposób na zakodowanie poprawnego kolejnego indeksu przy użyciu tylko tych 4 symetrii (lepiej niż moje brzydkie rozwiązanie w moim poście, gdzie muszę robić podwójne pętle).

— Ondřej Čertík

tak, właśnie tak! Nie wiem, jak elegancko rozwiązać (bez sortowania i numerowania) indeks, ale wiodącym terminem użycia pamięci jest O (N ^ 4). Współczynnik 4 powinien mieć niewielką różnicę w pamięci dla dużej N.

— fcruz

Czy to nie tylko uogólnienie problemu upakowanego indeksowania macierzy symetrycznej? Rozwiązaniem jest przesunięcie (i, j) = i * (i + 1) / 2 + j, prawda? Nie możesz podwoić tego i zindeksować podwójnie symetryczną macierz 4D? Implementacja wymagająca rozgałęzień wydaje się niepotrzebna.

— Jeff
źródło