Silne kontra słabe rozwiązania PDE

Silna postać PDE wymaga, aby nieznane rozwiązanie należało do . Ale słaba forma wymaga tylko, aby nieznane rozwiązanie należało do . $H^2$ $H^1$

Jak to pogodzisz?

pde weak-solution

— Mohamed Cheddadi
źródło

Klasa słabych rozwiązań jest większa niż klasa silnych rozwiązań (każde mocne rozwiązanie jest również słabym rozwiązaniem, ale nie każde słabe rozwiązanie jest również silnym rozwiązaniem).

— Christian Clason,

Ale jest tylko jedno rozwiązanie.

— Mohamed Cheddadi

Istnieje jedno rozwiązanie dla każdej (odpowiedniej) funkcji po prawej stronie lub zestawu (odpowiednich) warunków brzegowych. Przestrzenie odpowiednich RHS lub BC są większe dla słabych rozwiązań niż mocne.

— Bill Barth

Spójrzmy na najprostszy przypadek równania Poissona w domenie wraz z jednorodnymi warunkami Dirichleta na granicy z . Na razie zakładamy, że jest tak płynny, jak chcemy (np. Może być sparametryzowany przez funkcję ) - będzie to ważne później.

\begin{matrix} (1) & - Δ u = fa \end{matrix}

$-\Delta u = f \tag{1}$

Ω \subset R^{n}

$\Omega\subset \mathbb{R}^n$

\begin{matrix} (2) & u |_{\partial Ω} = 0 \end{matrix}

$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$

\partial Ω

$\partial\Omega$

Ω

$\Omega$

\partial Ω

$\partial\Omega$

C^{\infty}

$C^\infty$

Pytanie brzmi: jak interpretować (czysto formalny) PDE . Zwykle odpowiada się na to, jak interpretować pochodną , ale dla naszego celu lepiej skupić się na interpretacji równania . $(1)$ $\Delta$

Zakłada się, że PDE utrzymuje się punktowo dla każdego . Aby to miało sens, prawa strona musi być ciągła, w przeciwnym razie nie możemy mówić o punktowych wartościach . Oznacza to, że druga (klasyczna) pochodna rozwiązania musi być ciągła, tzn. Musimy szukać . Funkcja która spełnia punkt wraz z warunkiem brzegowym punktowo, nazywa się rozwiązaniem klasycznym (czasami niestety również silnym ). $(1)$ $x\in\Omega$ $f$ $f(x)$ $u$ $u\in C^2(\Omega)$

$u\in C^2(\Omega)$ $(1)$ $(2)$
Wymóg ciągłości jest zbyt restrykcyjny dla praktycznych zastosowań. Jeśli założymy, że utrzymuje się punktowo dla prawie każdego (tj. Wszędzie oprócz zestawów miary zero Lebesgue'a), możemy uciec od . Oznacza to, że drugie pochodne są funkcjami w , co ma sens, jeśli weźmiemy słabe pochodne i stąd szukamy . (Pamiętaj, że w przypadku funkcji , które nie są ciągłe, nie możemy przyjąć warunku brzegowego punktowo. Ponieważ $f$ $(1)$ $x\in \Omega$ $f\in L^2(\Omega)$ $L^2$ $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ $u$ $(2)$ $\partial \Omega$ ma zerową miarę Lebesgue'a jako podzbiór $\bar\Omega$ , punktowo prawie wszędzie też nie ma sensu.)

Funkcja $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ która spełnia $(1)$ punktowo prawie wszędzie, nazywa się silną rozwiązanie . Zauważ, że generalnie konieczne i nietrywialne jest wykazanie, że takie rozwiązanie istnieje i jest unikalne (co ma miejsce w przypadku tego przykładu).
Jeśli mamy już do czynienia ze słabymi instrumentami pochodnymi, możemy dodatkowo rozluźnić założenia dotyczące $f$ . Jeśli weźmiemy $(1)$ za abstrakcyjne równanie operatora w $H^{-1}(\Omega)$ , podwójnej przestrzeni $H^1_0(\Omega)$ , to ma to sens dla wszystkich $f\in H^{-1}(\Omega)$ (co jest większa przestrzeń niż $L^2(\Omega)$ ). Prawie z definicji podwójnej przestrzeni i słabej pochodnej $(1)$ w tym sensie jest równoważne równaniu wariacyjnemu
$\begin{matrix} (3) & \int_{Ω} \nabla u (x) \cdot \nabla v (x) re x = \int_{Ω} fa (x) v (x) re x dla wszystkich v \in {H.}_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}$ $\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$
Funkcja $u\in H^1_0(\Omega)$ która spełnia $(3)$ nazywa sięrozwiązaniem słabym. Ponownie, generalnie konieczne i nietrywialne jest wykazanie, że takie rozwiązanie istnieje i jest unikalne (co ma miejsce w tym przypadku tutaj).

Ponieważ klasyczne pochodne są również słabymi pochodnymi, każde klasyczne rozwiązanie jest również silnym rozwiązaniem. Podobnie, przez osadzenie $H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$ , każde silne rozwiązanie jest również rozwiązaniem słabym. Pozostałe kierunki są bardziej subtelne.

Jeśli $(3)$ ma unikalne rozwiązanie, które ponadto spełnia $u\in H^2(\Omega)$ dla $f\in L^2(\Omega)$ (zamiast tylko $H^{-1}(\Omega)$ ), to słabe rozwiązanie jest również silnym rozwiązaniem (i dla $n=2$ również klasyczne rozwiązanie, ponieważ w tym przypadku $H^2(\Omega)$ osadza się $C(\bar\Omega)$ ). Ta właściwość jest czasami nazywanamaksymalna (eliptyczna) prawidłowość i obowiązuje dla równania Poissona, zakładając, że granica $\partial\Omega$ (i dane graniczne) jest wystarczająco gładka. (Tu pojawia się powyższe założenie.)
W przeciwnym razie może się zdarzyć nawet dla $f\in L^2(\Omega)$ że PDE ma słabe rozwiązanie, ale nie silne.
Jeśli maksymalna prawidłowość nie zostanie utrzymana, może się również zdarzyć, że PDE ma unikalne silne rozwiązanie (które jest zatem również słabym rozwiązaniem), ale nie wyjątkowe słabe rozwiązanie. Oznacza to, że istnieje wiele słabych rozwiązań, np. $H^1_0(\Omega)$ , ale tylko jedno z nich znajduje się również w $H^2(\Omega)$ a zatem silne rozwiązanie. (Rzeczywiste przykłady wymagają bardziej skomplikowanych przestrzeni; patrz np. Meyer, Christian; Panizzi, Lucia; Schiela, Anton , Kryteria unikatowości dla równania przyległego w ograniczonej przez państwo eliptycznej kontroli optymalnej , Numer. Funct. Anal. Optim. 32, No 9, 983–1007 (2011). ZBL1230.35041lub bardziej skomplikowane, nieliniowe równania; patrz np . http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)

— Christian Clason
źródło

Ta odpowiedź była dla mnie bardzo przydatna. Czy możesz podać odniesienie do ostatniej części odpowiedzi? Chciałbym zobaczyć przykład, w którym PDE ma unikalne silne rozwiązanie, ale pozwala na wiele słabych rozwiązań. Dzięki!

— indukcja601,