Najmniejsza wartość własna bez odwrotności

Załóżmy, że jest symetryczną, dodatnią określoną macierzą. jest na tyle duże, że rozwiązanie jest drogie . $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $A$ $Ax=b$

Czy istnieje iteracyjny algorytm znajdowania najmniejszej wartości własnej , który nie obejmuje odwracania w każdej iteracji? $A$ $A$

To znaczy, musiałbym użyć algorytmu iteracyjnego, takiego jak sprzężone gradienty, aby rozwiązać , więc wielokrotne stosowanie wydaje się kosztowną „wewnętrzną pętlą”. Potrzebuję tylko jednego wektora własnego. $Ax=b$ $A^{-1}$

Dzięki!

— Justin Solomon
źródło

Czy próbowałeś już użyć rozkładu Cholesky'ego? Trzeba by było dodać

gdzie

jest macierzą trójkątną. Kiedy już otrzymasz faktoryzację (robisz to tylko raz), możesz użyć jej w każdej iteracji, aby bardzo szybko rozwiązać system, zastępując go w przód i w tył.

A

$A$

L L^{T}

$L L^T$

L

$L$

— Juan M. Bello-Rivas

Czy rzadka matryca?

— Tolga Birdal

A

$A$

Jeśli używasz eigsmatlaba lub oktawy, użyj -routine. Jest to metoda iteracyjna. Istnieją opcje określające, która wartość własna ma być pożądana, np. Najmniejsza rzeczywista .

— sebastian_g

A

$A$

A

$A$

$\lambda_{max}$ $A$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max}$ $M = A - \lambda_{max}I$ eigs('lm')
$\hat{\lambda}_{max} + \lambda_{\max} = \lambda_{min}(A)$
Znajdź swój wektor własny , rozwiązując . $v$ $(A - \lambda_{min} I) v = 0$

— GoHokies
źródło