W MES, dlaczego macierz sztywności jest dodatnia?

10

W klasach MES zwykle przyjmuje się za pewnik, że macierz sztywności jest pozytywnie określona, ale po prostu nie rozumiem, dlaczego. Czy ktoś mógłby podać jakieś wyjaśnienie?

Na przykład możemy rozważyć problem Poissona:

- \nabla^{2} u = f,

$-\nabla^2 u = f,$ którego macierz sztywności jest:

K_{i j} = \int_{Ω} \nabla φ_{i} \cdot \nabla φ_{j} d Ω,

$K_{ij} = \int_\Omega\nabla\varphi_i\cdot\nabla\varphi_j\, d\Omega,$ który jest symetryczny i pozytywnie określony. Symetria jest oczywistą właściwością, ale pozytywna definitywność nie jest dla mnie tak wyraźna.

finite-element matrix stiffness

— użytkownik123
źródło

1

Zależy to od równania różniczkowego cząstkowego, które próbujesz rozwiązać. Czy możesz dodać ten, który Cię interesuje?

— Christian Clason

Cześć, @ChristianClason, dziękuję za komentarz. Dodałem konkretny przykład tego problemu.

— user123

3

Zastrzeżenie: Bez warunków brzegowych kompletna macierz sztywności układu złożona z matryc elementów nie ma pełnej rangi, ponieważ musi odwzorować równoważność sztywnych ruchów ciała na siły zerowe. Zatem kompletna macierz sztywności może być w najlepszym razie półwykończeniem dodatnim. Jednak przy odpowiednich warunkach brzegowych sztywne ruchy ciała są wyłączone, a ograniczony system nie jest wówczas jednostkowy. (W przeciwnym razie nie można go rozwiązać). Dlatego, aby znaleźć rzeczywistą pozytywną definitywność, musisz spojrzeć na skondensowaną macierz wynikającą z zastosowania warunków brzegowych.

— ccorn

13

Właściwość wynika z właściwości odpowiedniego (słabej postaci) częściowego równania różniczkowego; jest to jedna z zalet metod elementów skończonych w porównaniu np. z metodami różnic skończonych.

Aby to zobaczyć, najpierw przypomnij sobie, że metoda elementów skończonych rozpoczyna się od słabej postaci równania Poissona (zakładam tutaj warunki brzegowe Dirichleta): Znajdź $u\in H^1_0(\Omega)$ takie, że

a (u, v) := \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = \int_{Ω} f v d x for all v \in H_{0}^{1} (Ω) .

$a(u,v):= \int_\Omega \nabla u\cdot \nabla v \,dx = \int_\Omega fv\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega).$ Ważną właściwością jest tutaj

\begin{matrix} (1) & a (v, v) = ‖ \nabla v ‖_{L^{2}}^{2} \geq c ‖ v ‖_{H^{1}}^{2} for all v \in H_{0}^{1} (Ω) . \end{matrix}

$a(v,v) = \|\nabla v\|_{L^2}^2 \geq c \|v\|_{H^1}^2 \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega). \tag{1}$ (Wynika to z nierówności Poincarégo.)

Obecnie klasycznym podejściem elementów skończonych jest zastąpienie nieskończonej wymiarowej przez podprzestrzeni skończonej trójwymiarowy i znaleźć taki sposób, że Ważną właściwością jest tutaj które korzystają z tego samego i podprzestrzeń (a odpowiadające dyskretyzacji); oznacza to, że nadal masz $H^1_0(\Omega)$ $V_h\subset H^1_0(\Omega)$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (2) & a (u_{h}, v_{h}) := \int_{Ω} \nabla u_{h} \cdot \nabla v_{h} d x = \int_{Ω} f v_{h} d x for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(u_h,v_h):= \int_\Omega \nabla u_h\cdot \nabla v_h \,dx = \int_\Omega fv_h\,dx \qquad\text{for all }v_h\in V_h.\tag{2}$

a

$a$

V_{h} \subset H_{0}^{1} (Ω)

$V_h\subset H^1_0(\Omega)$

\begin{matrix} (3) & a (v_{h}, v_{h}) \geq c ‖ v_{h} ‖_{H^{1}}^{2} > 0 for all v_{h} \in V_{h} . \end{matrix}

$a(v_h,v_h) \geq c \|v_h\|_{H^1}^2 >0 \qquad\text{for all }v_h\in V_h. \tag{3}$

Teraz do ostatniego etapu: do przekształcenia formy wariacyjne do układu równań liniowych, należy wybrać podstawę z , zapisu i wstaw , do . Macierz sztywności zawiera wówczas wpisy (co pokrywa się z tym, co napisałeś). $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $V_h$ $u_h =\sum_{i=1}^N u_i\varphi_i$ $v_h=\varphi_j$ $1\leq j\leq N$ $(2)$ $K$ $K_{ij}=a(\varphi_i,\varphi_j)$

Teraz weź dowolny wektor i ustaw . Następnie mamy przez i dwuliniowość (tzn. Możesz przenieść skalary i sumy na oba argumenty) Ponieważ był arbitralny, oznacza to, że ma wartość dodatnią. $\vec v=(v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$ $v_h:=\sum_{i=1}^Nv_i \varphi_i\in V_h$ $(3)$ $a$

{\vec{v}}^{T} K \vec{v} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} v_{i} K_{i j} v_{j} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} a (v_{i} φ_{i}, v_{j} φ_{j}) = a (v_{h}, v_{h}) > 0.

$\vec v^T K \vec v = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N v_iK_{ij} v_j = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N a(v_i\varphi_i,v_j\varphi_j) = a(v_h,v_h) >0.$

\vec{v}

$\vec v$

K

$K$

TL; DR: Macierz sztywności jest określona dodatnio, ponieważ pochodzi z zgodnej dyskretyzacji (samo-przylegającego) eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego .

— Christian Clason
źródło

2

Jeśli sztywność elementu nie jest dodatnia, wówczas układ nie jest stabilny. Model najprawdopodobniej nie jest poprawny. Spójrz na najbardziej podstawowe równanie oscylatora harmonicznego

m x^{″} (t) + k x (t) = f (t)

$m x''(t) + k x(t) = f(t)$

Rozwiązanie jest niestabilne, jeśli jest ujemne (spójrz na pierwiastki równania charakterystycznego). Oznacza to, że rozwiązanie wybuchnie. Sztywność musi być siłą przywracającą. Przynajmniej na fizyczną sprężynę. Macierz sztywności rozciąga się na dużą liczbę elementów (globalna macierz sztywności). To wszystko. Ale to ten sam podstawowy pomysł. Podstawą MES jest metoda macierzy sztywności do analizy strukturalnej, w której każdy element ma związaną z nią sztywność. $k$

— Nasser
źródło