Schematy różnic niejawnych dla równania doradczego

Istnieje wiele schematów FD dla równania porady dyskutować w sieci. Na przykład tutaj: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

Ale nie widać każdy zaproponowanie "ukryte" wiatr schemat tak: .$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

Wszystkie schematy podmuchu wiatru, które widziałem, dotyczyły danych z poprzedniego kroku czasowego w pochodnej przestrzennej. Jaki jest tego powód? Czym różni się klasyczny schemat podmuchu wiatru od tego, który napisałem powyżej?

W obliczeniowej dynamice płynów dość często stosuje się schematy niejawne podobne do proponowanych przez użytkownika. Te, które znam, oparte są na zwartych formułach różnic skończonych (nie tylko na zastąpieniu przez n + 1 w istniejących schematach). Na przykład jeden z najczęściej używanych schematów został opracowany przez Lele w 1992 r. W tym artykule z ponad 2500 cytowaniami. Takie schematy mogą mieć lepsze właściwości dyspersyjne niż typowe schematy jawne.$n$$n+1$

Upwindowanie jest zwykle mniej ważne, gdy stosuje się metody niejawne i duże rozmiary kroków czasowych, ponieważ ogromna ilość dyfuzji (wspomniana przez Jeremy'ego) oznacza, że ​​i tak nie można rozwiązać wstrząsów.

Jeśli chodzi o konkretny program, który proponujesz:

• Można go uzyskać z dyskretyzacji metodą linii, stosując wsteczną różnicę w przestrzeni i wsteczną (domyślną) metodę Eulera w czasie.
• Jest bezwarunkowo stabilny, dopóki (co ciekawe, jest również stabilny dla u < 0, jeśli przedział czasu nie jest zbyt mały !) $u\ge0$$u<0$
• Jest bardziej rozpraszający niż tradycyjny wyraźny schemat podmuchu wiatru.
• W przeciwieństwie do jawnego schematu podmuchu wiatru nie spełnia on warunku jednostkowego CFL (tj. Nie jest to dokładne w przypadku, gdy ). Zamiast tego spełnia warunek przeciw-jednostkowy CFL (jest to dokładne, jeśli τ u / h = - 1 ).$\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

Nie ma powodu, abyś nie mógł robić tego, co napisałeś. Jednym z powodów, dla których jest to rzadkie, jest to, że w przypadku problemów typu hiperbolicznego (doradczego) dziedzina zależności jest skończona. Zatem jawne metody mają sens z punktu widzenia wydajności obliczeniowej.

Niejawny schemat, który napisałeś, będzie wymagał rozwiązania układu liniowego, aczkolwiek w przypadku, gdy napisałeś trójkątny, a zatem dość prosty do rozwiązania. Oczywiście, gdy przejdziesz do systemów i wielu wymiarów, system prawdopodobnie nie będzie trójkątny, chociaż czasami może to skutkować prawidłowym uporządkowaniem twoich niewiadomych (patrz na przykład Kwok i Tchelepi, JCP 2007 oraz Gustafsson i Khalighi, JSC, 2006 ).

Czasami w nadziei na podjęcie kroków na dużą skalę ludzie wykorzystają czas ukryty, tak jak napisałeś, ale musisz być ostrożny. Korzystając z metody niejawnej, wprowadzisz dużą dyfuzję, dzięki czemu znacznie rozmyjesz swoje rozwiązanie.