Jaki jest cel funkcji testowej w analizie elementów skończonych?

W równaniu falowym:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Dlaczego najpierw mnożymy przez funkcję testową $v(x,t)$ przed całkowaniem?

finite-element

— Andy
źródło

Krótka odpowiedź: Ponieważ metoda elementu skończonego jest dyskretyzacją słabego sformułowania, a nie silnego sformułowania (które podałeś). Średnia odpowiedź: ponieważ nie możesz być pewien, że znajdziesz skończoną funkcję, taką, że równanie jest spełnione; w najlepszym razie możesz mieć nadzieję, że reszta będzie prostopadła do skończonej przestrzeni rozwiązania - lub równoważnie, ortogonalna do dowolnego elementu tej przestrzeni (co jest właśnie funkcją testową). Integracja przez części nie jest tak ważna, aw twoim przypadku ze względu na symetrię. Długa odpowiedź jest za długa na komentarz :)

— Christian Clason

Innym krótkie wyjaśnienie: Jeśli po prostu zintegrować i zestaw do zera, prosicie dla średniej zniknąć - nie w ogóle, czego szukasz, bo wtedy szczątkowe mogą być bardzo duże w jednej części domeny, o ile jest duży z przeciwnym znakiem w innym. Testowe funkcje w zasadzie „lokalizują” resztki każdego elementu.

— Christian Clason

Aby uzyskać alternatywne wyjaśnienie, zobacz następującą odpowiedź: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/...

— Paul

Odpowiedzi:

Zbliżasz się do tego. Uzasadnienie jest lepiej widoczne, zaczynając od ustawienia wariacyjnego i pracując nad silną formą. Po wykonaniu tej czynności, pomnożenie przez funkcję testową i całkowanie można zastosować do problemów, w których nie zaczynasz od problemu minimalizacji.

Zastanówmy się więc nad problemem, który chcemy zminimalizować (i tutaj formalnie i wcale nie rygorystycznie):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

$\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

gdzie jest tylko skalarem. Widać, że jest to podobne do tradycyjnej definicji pochodnej dla funkcji skalarnych zmiennej skalarnej, ale rozszerzone do funkcjonałów takich jak które zwracają skalary, ale mają swoją domenę nad funkcjami. $h$ $I$

Jeśli obliczymy to dla naszego (głównie przy użyciu reguły łańcucha), otrzymamy $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Ustawiając to na zero, aby znaleźć minimum, otrzymujemy równanie, które wygląda jak słaba instrukcja równania Laplace'a:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Teraz, jeśli użyjemy The Divergence Theorm (aka wielowymiarowa integracja przez części), możemy pobrać pochodną i ustawić ją na aby uzyskać $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Teraz naprawdę wygląda to tak, jak zaczynasz, gdy chcesz zbudować słabą instrukcję z częściowego równania różniczkowego. Biorąc pod uwagę ten pomysł, możesz go użyć do dowolnego PDE, pomnożyć przez funkcję testową, zintegrować, zastosować Twierdzenie o dywergencji, a następnie dyskretyzować.

— Bill Barth
źródło

Wolałbym wyjaśnić to w kategoriach minimalizacji ważonej wartości resztkowej.

— nicoguaro

@nicoguaro, OK, możesz napisać tę odpowiedź, a my zobaczymy, która z nich ma większy sens dla OP. :)

— Bill Barth

+1 za wskazanie, że słaba forma jest w rzeczywistości (lub przynajmniej często) bardziej naturalna niż silna forma.

— Christian Clason

Ciekawy. Niby styczna, ale jeśli chodzi o „Istnieje kilka dobrych sposobów rozważenia tego rodzaju pochodnej” : jedyną metodą, której się nauczyłem, jest ta, o której wspomniałeś. Jakie są inne rodzaje?

— user541686,

@Mehrdad Metoda ta oblicza kierunkową pochodną i sprawdza, czy jest operatorem liniowa (w ) i dlatego też pochodne wypieki. Możesz także przyjść z drugiej strony: Zgadnij operator liniowy (np. Analogicznie do funkcji rzeczywistych) i sprawdź, czy spełnia on rodzaj właściwości przybliżenia Taylora pierwszego rzędu. Zatem jest to pochodna Frécheta (a zatem także pochodna Gâteaux).

h

$h$

— Christian Clason

Jak wspomniałem wcześniej, wolę myśleć o słabej formie jako ważonej reszcie.

Chcemy znaleźć przybliżone rozwiązanie . Zdefiniujmy resztę jako $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

w przypadku dokładnego rozwiązania resztą jest funkcja zerowa w domenie. Chcemy znaleźć przybliżone rozwiązanie, które jest „dobre”, tj. Takie, które czyni „małym”. Możemy więc spróbować zminimalizować normę resztkową (na przykład metody najmniejszych kwadratów) lub jej średnią. Jednym ze sposobów jest obliczenie ważonej wartości resztkowej, tj. Zminimalizowanie ważonej wartości resztkowej $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

jedną ważną rzeczą jest to, że definiuje funkcjonalność, dzięki czemu można ją zminimalizować. Może to działać w przypadku funkcji, które nie mają postaci wariacyjnej. Trochę więcej opisuję w tym poście . Możesz wybrać funkcję na różne sposoby, np. Będąc w tej samej przestrzeni funkcji (metody Galerkina), funkcje delta Diraca (metody kolokacji) lub podstawowe rozwiązanie (metoda elementów brzegowych). $w$ $\hat{u}$

Jeśli wybierzesz pierwszy przypadek, otrzymasz równanie podobne do opisanego przez @BillBarth.

— nicoguaro
źródło