Elementy Raviarta-Thomasa na kwadracie odniesienia

Chciałbym się dowiedzieć, jak działa element Raviart-Thomas (RT). W tym celu chciałbym analitycznie opisać, jak funkcje podstawowe wyglądają na kwadracie odniesienia. Celem nie jest wdrożenie go osobiście, ale po prostu intuicyjne zrozumienie elementu.

W dużej mierze opieram tę pracę na omawianych tutaj trójkątnych elementach , być może rozszerzenie jej na czworoboki jest błędem samo w sobie.

To powiedziawszy, mogę zdefiniować funkcje podstawowe dla pierwszego elementu RK RK0:

ϕ_{i} (x) = a + b x = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x \\ a_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$ dla

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

Warunki na są następujące: $\mathbf{\phi}_i$

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

gdzie to normalna jednostka pokazana poniżej, a to jego współrzędna. $\mathbf{n}_j$ $\mathbf{x}_j$

RT0

Jest to kwadrat odniesienia , więc prowadzi to do układu równań dla każdej funkcji bazowej. Dla jest to: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

które można rozwiązać, aby uzyskać:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

Inne funkcje podstawowe można znaleźć podobnie.

Zakładając, że jest to poprawne, następnym krokiem jest znalezienie podstawowych funkcji dla RK1. W tym miejscu jestem trochę niepewny siebie. Zgodnie z powyższym linkiem interesująca nas przestrzeń to:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

Podstawą dla byłoby $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Myślę, że to oznacza, że podstawowe funkcje RK1 powinny przybrać postać:

ϕ_{i} (x) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ a_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Pozostawia to 10 niewiadomych dla każdej funkcji bazowej. Jeśli zastosujemy te same warunki, co w przypadku RK0, a mianowicie:

ϕ_{i} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{i j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$ , gdzie jest jednostką normalną, jak pokazano poniżej:

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

daje nam to 8 równań. Pozostałe 2, jak sądzę, można znaleźć od kilku chwil. Nie jestem pewien, jak dokładnie. Powyższy link mówi o integracji z podstawą dla , ale mam problem ze zrozumieniem, co to znaczy. Czy jestem na dobrej drodze, czy może coś mi tu zupełnie brakowało? $[P_1]^2$

pde finite-element

— Lukas Bystricky
źródło

Ogólnie rzecz biorąc, nie można po prostu przenieść tej samej wielomianowej podstawy z czworościennych na czworoboczne elementy. ¹ W szczególności, celem czworokąta elementów jest praca z produktami tensorowymi jednowymiarowych wielomianów, co nie jest możliwe w przypadku elementów czworościennych.

W rzeczywistości istnieją czworoboczne elementy Raviarta-Thomasa, ale ich definicja jest inna. W dwóch wymiarach przestrzeń wielomianowa dla jest określona przez gdzie Typowy wielomian dla byłby zatem taki, jak napisałeś, ale dla byłby to Zatem i ogólnie $RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

P_{k, l} = {\sum_{i = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} a_{i j} x^{i} y^{j} : a_{i j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

(\begin{matrix} a_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ a_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$ . Oznacza to, że potrzebujesz dwóch dodatkowych stopni swobody, które powinny znajdować się we wnętrzu elementu. (Ogólnie rzecz biorąc, dla bierzesz normalnych pochodnych na każdy aspekt i pozostałe stopnie swobody od wnętrza.)

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

Aby odpowiedzieć na twoje aktualne pytanie: W przypadku elementów Raviarta-Thomasa zwykle potrzebujesz chwil, a nie oceny punktowej, tj. Pozostałe warunki pochodzą z warunków gdzie są podstawą ( np. dla ). Aby ułatwić uzyskanie pełnej podstawy węzłowej, stopnie swobody zwykle nie są traktowane jako ocena punktowa, ale również jako warunki chwilowe: gdzie jest jedną z czterech krawędzi, jest odpowiednią zewnętrzną normalną i dla każdego

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{i} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{i j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{i} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$ , tworzą podstawę (np. lub dla zależności od orientacji krawędzi). Razem te stopnie swobody są nierozpuszczalne (tzn. Odpowiedni system funkcji podstawowych jest zawsze odwracalny).

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

Można znaleźć dyskusję na czworoboku Raviart-Thomas-Elements w rozdziale 2.4.1 Boffi, Brezzi, Fortin: Mixed Finite Element Methods and Applications , Springer 2013 , Arnold, Boffi Falk: czterostronne elementów skończonych $H(div)$ , SINUM 42 (5), 2005, s. 2429–2451 i rozdział 3.2.3 notatek z wykładów Ronalda Hoppe .

_{1. Zasadniczo wielomianowa przestrzeń rzędu na elementach czworościennych zawiera monomale, których moce sumują się do , natomiast przestrzeń rzędu na elementach czworokątnych zawiera monomale, których maksymalna moc wynosi . Na przykład byłby rzędu na czworościanach, ale tylko rzędu na czworobokach.
$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

— Christian Clason
źródło

Dziękuję bardzo za odpowiedź, oczywiście wkładacie w to wiele wysiłku. Myślę, że to wyjaśnia wiele moich nieporozumień.

— Lukas Bystricky

I przeliczone Podstawa funkcja dla przy użyciu opisanego powyżej integralny wpadł . Zakładając, że jest to poprawne, czy możesz wyjaśnić, gdzie ma zastosowanie kompaktowe wsparcie? Ponieważ jest stały w , będzie niezerowy dla wszystkich elementów powyżej i poniżej.

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

y

$y$

— Lukas Bystricky

Cieszę się, że okazało się to pomocne; twoje pytanie jest interesujące i również poświęciłeś dużo wysiłku. Kompaktowe wsparcie wynika z faktu, że wielomiany są zdefiniowane tylko na elemencie odniesienia - należy pamiętać, że Raviart-Thomas są elementami zgodnymi z H (div), a zatem funkcje w globalnej przestrzeni elementów skończonych nie muszą być ciągłe.

— Christian Clason

W rzeczywistości dotyczy to tylko funkcji podstawowych związanych z wewnętrznymi stopniami swobody: (podstawowe) funkcje podstawowe połączone z krawędziowymi stopniami swobody obsługują (tylko) dwa elementy połączone przez krawędź; na każdym innym elemencie są ustawione na zero.

— Christian Clason

Właściwie to: w przypadku elementów krawędziowych tylko ciąg normalny musi być ciągły, a nie sam wielomian, więc nawet to należy załatwić automatycznie bez rozszerzania podpory. Jeśli potrzebujesz więcej informacji na temat globalnej przestrzeni Raviarta-Thomasa, sugeruję rozwinąć swoje pytanie, a ja postaram się poszerzyć moją odpowiedź.

— Christian Clason