Weryfikacja problemów z wartością własną

Zacznijmy od problemu formy

(L + k^{2}) u = 0

$(\mathcal{L} + k^2) u=0$

z zestawem danych warunków brzegowych ( Dirichlet , Neumann , Robin , Periodic , Bloch-Periodic ). Odpowiada to znalezieniu wartości własnych i wektorów własnych dla pewnego operatora , w pewnej geometrii i warunkach brzegowych. Problem taki można uzyskać np. W akustyce, elektromagnetyzmie, elastodynamice, mechanice kwantowej. $\mathcal{L}$

Wiem, że operator może dyskretyzować, stosując różne metody, np. Metody różnic skończonych

[A] {U} = k^{2} {U}

$[A]\{U\} = k^2 \{U\}$

lub stosując metody elementów skończonych w celu uzyskania

[K] {U} = k^{2} [M] {U} .

$[K]\{U\} = k^2 [M]\{U\} \enspace .$

W jednym przypadku wystąpił problem z wartością własną, a uogólniony problem z wartością własną w drugim. Po uzyskaniu dyskretnej wersji problemu używa się solvera dla problemu wartości własnej.

Kilka myśli

Metoda wytworzonych rozwiązań nie jest przydatna w tym przypadku, ponieważ nie ma źródła określającego równanie.
$[K]$ $[M]$

$[\nabla^{2} + ω^{2} / c^{2}] u (ω) = f (ω), \forall ω \in [ω_{min}, ω_{max}]$ $[\nabla^2 + \omega^2/c^2] u(\omega) = f(\omega) \enspace ,\quad \forall \omega \in [\omega_\min, \omega_\max]$
zamiast

$[\nabla^{2} + k^{2}] u = 0 .$ $[\nabla^2 + k^2] u = 0 \enspace .$
Ale to nie sprawdzi problemów solvera.
Być może można porównać rozwiązania dla różnych metod, takich jak FEM i FDM.

Pytanie

Jaki jest sposób weryfikacji rozwiązań (pary własne-wektor własny) dla schematów dyskretyzacji ze względu na metody numeryczne takie jak FEM i FDM dla problemów z wartością własną?

— nicoguaro
źródło

Czy możesz porównać swoje wyniki z widmami dla znanych przypadków (kwadrat, sześcian, okrąg, kula)? Oczekuje się również współczynników konwergencji dla wektorów własnych i wartości własnych w odpowiednich normach, które można sprawdzić (chociaż te współczynniki różnią się w zależności od częstotliwości - patrz journals.cambridge.org/action/… )

— Jesse Chan

Tak, możesz porównać z rozwiązaniami analitycznymi. Ale zwykle są one dostarczane w naprawdę prostych przypadkach. Pytanie dotyczy tego, jak przeprowadzić proces weryfikacji. Jeśli istnieje coś podobnego do metody produkowanych rozwiązań. Lub jeśli powinieneś połączyć tę metodę z innymi problemami z rozwiązaniami analitycznymi.

— nicoguaro

k, v

$k,v$

(L + k^{2}) v = w \neq 0

$(\mathcal{L}+k^2)v = w \neq0$

w = f v + g v^{'}

$w = fv+gv'$

f, g

$f,g$

L^{'} = L - f - g \partial

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-f-g\partial$

L

$\mathcal{L}$

v

$v$

v^{'}

$v'$ powinien być liniowo niezależny i nie może zniknąć w tym samym momencie.

— Kirill,

@JesseChan, dziękuję za sugerowaną lekturę. Zajęło mi to trochę czasu, ale to przeczytałem. Nie sądzę, że dostarczają wystarczających informacji do pożądanego celu.

— nicoguaro

Chcę mieć pewność, że dobrze cię zrozumiałem. Czy chcesz wiedzieć, jak oszacować odległość między obliczonymi parami własnymi dla operatora dyskretnego (macierz lub macierze) a odpowiednią parą własną dla operatora gładkiego? A może chcesz teraz oszacować dokładność rozwiązania dyskretnego problemu z wartością własną?

— Carl Christian,

Odpowiedzi:

Zdaję sobie sprawę, że to pytanie jest stare, ale właśnie je zobaczyłem i uważam za interesujące. W przeszłości postępowałem zgodnie z sugestiami zawartymi w komentarzach do tego pytania, w połączeniu z nieco bardziej skomplikowanymi przypadkami, które znam w literaturze (Orr - Sommerfeld jest zawsze przydatny).

Jednak znam też literaturę na temat niejednorodnych problemów z wartością własną, które powstają podczas konstruowania wytworzonego rozwiązania. Dyskutuje się tutaj o takich problemach: DOI: 10.1016 . Autorzy ci sugerują również tak zwaną Metodę Wytworzonych Przekrojów (MXS, jak sądzę), aby całkowicie uniknąć tego problemu, którego nie będę w tej chwili rozumieć, ale może być bardzo przydatny.

— Spencer Bryngelson
źródło

To, co proponują jako „niejednorodny problem wartości własnych”, jest podejściem zaproponowanym w moim oryginalnym poście. Nadal jednak próbuję zrozumieć Metodę wytworzonych przekrojów.

— nicoguaro

Zdaję sobie sprawę z tego, sugerując po prostu, że istnieje pewna literatura dotycząca takich problemów, więc może nie być to ślepy zaułek, jak zasugerowałeś: „Wytworzone rozwiązania nie są przydatne w tym przypadku, ponieważ nie istnieje termin źródłowy, który równoważyłby równanie”.

— Spencer Bryngelson

To nie jest krytyka twojego postu. Wręcz przeciwnie! Właśnie komentuję to, co znalazłem po przeczytaniu odniesienia, aby promować dyskusję.

— nicoguaro

Dla pochodnej drugiego rzędu (i Laplaciana na prostych domenach) dostępne są wyrażenia dla dyskretnych par własnych (tj. Po dyskretyzacji). Na przykład dla różnic skończonych pary własne są tutaj wymienione .

Wyrażenie dla par własnych z dyskretyzacją elementów skończonych można znaleźć podobnie (dla dyskretyzacji P1 i P2).

— user7440
źródło