Jak liczbowo odczuwa się słabą zbieżność?

9

Rozważmy, że masz problem z nieskończoną przestrzenią w przestrzeni Hilberta lub Banacha (pomyśl o PDE lub problemie optymalizacji w takiej przestrzeni) i masz algorytm, który słabo zbiega się z rozwiązaniem. Jeśli dyskretyzujesz problem i zastosujesz odpowiedni dyskretny algorytm do problemu, wówczas słaba zbieżność to zbieżność w każdej współrzędnej, a zatem również silna. Moje pytanie brzmi:

Czy ten rodzaj silnej zbieżności odczuwa lub wygląda inaczej niż zbieżność uzyskana ze starej dobrej zwykłej silnej zbieżności oryginalnego nieskończonego algorytmu?

Lub bardziej konkretnie:

Jakie złe zachowanie może się zdarzyć przy użyciu „dyskretnej metody słabej konwergencji”?

Ja sam zwykle nie jestem do końca szczęśliwy, kiedy mogę jedynie wykazać słabą zbieżność, ale do tej pory nie mogłem zaobserwować jakiegoś problemu z rezultatem metod, nawet jeśli przeskalowałem problem dyskretnych problemów do wyższych wymiarów.

Zauważ, że nie interesuje mnie problem „pierwsza dyskretyzacja niż optymalizacja” vs. dla którego algorytm został zaprojektowany.

Aktualizacja: Jako konkretny przykład rozważ problem optymalizacji ze zmienną w i rozwiązanie jej za pomocą czegoś takiego jak (inercyjny) podział do przodu do tyłu lub inna metoda, dla której znana jest tylko słaba zbieżność w . W przypadku dyskretyzowanego problemu możesz użyć tej samej metody, a przy prawidłowej dyskretyzacji otrzymujesz ten sam algorytm, jeśli dyskretyzujesz go bezpośrednio. Co może pójść nie tak, gdy zwiększysz dokładność dyskretyzacji? $L^2$ $L^2$

algorithms convergence

— Sztylet
źródło

O jakiej metodzie myślisz, gdzie analizowana jest zbieżność, zanim problem nieskończenie wymiarowy zostanie zdyskretowany? Wspominasz o optymalizacji, więc myślisz głównie o problemach związanych z optymalizacją ograniczonych przez PDE, czy może jest coś jeszcze?

— Bill Barth

Oprócz optymalizacji PDE mam na myśli problemy z wariacjami geometrycznymi (np. Minimalne powierzchnie) i problemy z obrazowaniem (np. Denoising TV, segmentacja Mumford-Shah).

— Dirk

3

Prawdą jest, że słaba konwergencja jest najważniejsza w limicie kontinuum jako $h\to 0$ (np. nie będąc w stanie zaobserwować żadnego współczynnika konwergencji). Przynajmniej w przestrzeniach Hilberta jest również ściśle związany z niejednorodnością limitu, a zatem tylko zbieżnością podrzędną (np. Gdzie można na przemian zbliżać się do różnych punktów granicznych, ponownie niszcząc stawki), i trudno jest oddzielić wpływ dwa na konwergencji.

Szczególnie w przypadku słabej konwergencji w $L^2$ , masz również fakt, że zbieżność nie musi być punktowa i można to zaobserwować w (wystarczająco drobnej) dyskretyzacji. Oto przykład z sekwencji minimalizatorów $\{u_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$ który zbiega się jak $\varepsilon\to 0$ do

u (x) = {\begin{cases} - 1 & x < \frac{1}{3)} \\ 0 & x \in [\frac{1}{3)}, \frac{2)}{3)}] \\ 1 & x > \frac{2)}{3)} \end{cases}

$u(x) = \begin{cases} -1 & x<\frac13 \\ 0 &x\in [\frac13,\frac23] \\ 1 &x>\frac23\end{cases}$ gdzie zbieżność jest słaba, ale nie punktowa

[\frac{1}{3}, \frac{2}{3}]

$[\frac13,\frac23]$ (ale punktowo prawie wszędzie indziej). Poniższe rysunki pokazują trzy reprezentatywne elementy z sekwencji (dla

ε

$\varepsilon$ już dość mały).

słaba zbieżność 1 słaba zbieżność 2 słaba zbieżność 3

Zjawisko to znane jest jako „drżenie” w aproksymacji problemów sterowania uderzeniem huku dla równań różniczkowych (tj. Problemów z ograniczeniami pola, w których rozwiązanie prawie wszędzie osiąga dolną lub górną granicę).

— Christian Clason
źródło

Doskonały przykład! Nie zrozumiałem jednak, jak słaba konwergencja jest związana z niejednorodnością. Ogólnie rzecz biorąc, nie można ulepszyć słabej konwergencji do silnej konwergencji, gdy limit jest wyjątkowy, prawda? Ale zgadzają się, często ma się zarówno słabą zbieżność, jak i niepowtarzalność.

— Dirk

Przepraszam, to było źle sformułowane; Nie chciałem powiedzieć, że tak jest zawsze. Miałem na myśli problemy, w których zwykle uzyskuje się również zbieżność normy, więc dopóki masz zbieżność pełnej sekwencji, możesz „uaktualnić” do silnej zbieżności (tj. Jedyną rzeczą, która może zapobiec silnej zbieżności, jest zbieżność podrzędna ).

— Christian Clason,

2

Pytanie, które zadajesz, często nie ma większego znaczenia praktycznego, ponieważ słaba zbieżność w jednej normie może oznaczać silną zbieżność w innej normie dla tej samej sekwencji rozwiązań.

Aby dać jeden przykład, załóżmy, że rozwiązujemy równanie Laplace'a z wystarczająco gładką prawą stroną na wypukłej domenie wielokątnej ze standardowymi elementami skończonymi. Następnie rozwiązanie $u$ jest w $H^2$ , ale oczywiście rozwiązanie elementu skończonego $u_h$ jest tylko w $H^1$ . Wiemy to $u_h \rightarrow u$ mocno w obu $L_2$ i $H^1$ normuje jako maksymalny rozmiar siatki $h\rightarrow 0$ ponieważ mamy szacunkowe błędy a priori $\|u-u_h\|_{L_2} \le Ch^2$ i . $\|u-u_h\|_{H^1} \le Ch$

Ale oczywiście nie możemy spodziewać się, że mocno w ponieważ są tylko w . Ale możemy mieć słabo w (tak naprawdę myślę, że tak jest). Oznaczałoby to prawdopodobnie stwierdzenie takie jak $u_h \rightarrow u$ $H^2$ $u_h$ $H^1$ $u_h \rightharpoonup u$ $H^2$

⟨ \nabla^{2)} (u - u_{h}), \nabla^{2)} v ⟩ \leq o (1) \forall v \in {H.}^{2)} .

$\left< \nabla^2 (u-u_h), \nabla^2 v\right> \le {\cal o}(1) \qquad \forall v \in H^2.$

Chodzi o to, że kwestia zbieżności słabej vs silnej jest zazwyczaj pytaniem o to, na jaką normę się patrzy, a nie właściwością sekwencji rozwiązań uzyskanych z metody.

— Wolfgang Bangerth
źródło

To prawda, ale w pewnym momencie norma staje się zbyt słaba, aby być praktycznie użyteczna (na przykład, gdy masz tylko niewielką zbieżność w

L^{2}

$L^2$ , co może oznaczać silną zbieżność negatywnych norm Sobolewa, których nie można zlokalizować).

— Christian Clason,

@ChristianClason, czy możesz porozmawiać z tym, jak to jest, gdy taka metoda jest dyskretna. Czy oni pracują? Itp?

— Bill Barth

Miałem na myśli przypadek, gdy dyskretyzowana norma faktycznie zbliża się do normy, w której zdarza się tylko niewielka zbieżność (zwykle

L^{2}

$L^2$ ).

— Dirk