Jaka metoda iteracyjna może skutecznie rozwiązać układ liniowy z tego rodzaju widmem

Mam układ liniowy z macierzą, której wartości własne są równomiernie rozmieszczone na okręgu jednostkowym w następujący sposób:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Czy możliwe jest skuteczne rozwiązanie tego rodzaju systemu za pomocą metody iteracyjnej, może z pewnym warunkiem wstępnym?

linear-algebra iterative-method preconditioning

— faleichik
źródło

Myślę, że MINRES to zrobi, chociaż wiem tylko o podobnych wynikach dla prawdziwego spektrum. Czy wiesz więcej o matrycy (w szczególności, czy jest to normalne)?

— Christian Clason,

Zobacz także page.math.tu-berlin.de/~liesen/Publicat/LiTiGAMM.pdf

— Christian Clason

Ten dokument jest również dobrym odniesieniem. W szczególności zastosowanie metody gradientu sprzężonego do równań normalnych (

A^{*} A x = A^{*} b

$A^*Ax = A^*b$ ), chociaż niewskazane dla macierzy o dużej liczbie warunków, może działać w twoim przypadku, ponieważ liczby osobliwe wyglądają bardzo blisko 1.

— Daniel Shapero

@ChristianClason w ogólnym przypadku matryca nie jest normalna. Ma pewną strukturę blokową i jest rzadki. Dziękuję za referencje!

— faleichik

Jeśli matryca jest wysoce nienormalna, to moja sugestia CGNE jest błędna, ale ten artykuł powinien być dobrym początkiem. Biblioteka PETSc ma prawie każdy solver podprzestrzeni Kryłowa pod słońcem, więc możesz wypróbować je wszystkie i zobaczyć, który z nich działa najlepiej. Jest też interfejs Pythona, dzięki czemu wszystko jest znacznie wygodniejsze.

— Daniel Shapero

Matryca jest bardzo dobrze uwarunkowana, dlatego GMRES (k) powinien działać dobrze bez warunków wstępnych.

— Arnold Neumaier
źródło

Chociaż matryca jest dobrze uwarunkowana, niekoniecznie oznacza to, że GMRES dobrze się zbiega. Przykład Octave (Matlab): `n = 100; A = oko (n); p = [n, 1: n-1]; A = A (:, p); numer_ warunku = cond (A), b = oko ( n, 1) + rand (n, 1) * 1e-6; [x, flag, relres, iter, resvec] = gmres (A, b); close all; semilogy (resvec); figure; plot (eig (A ), „.”); `

— wim

@wim: Masz rację; Zakładałem, że bez uzasadnionego powodu

A

$A$ było normalne.

— Arnold Neumaier