Kolejność operacji, algorytmy numeryczne

Przeczytałem to

(1) Czynności źle uwarunkowane należy wykonać przed czynnościami dobrze uwarunkowanymi.

Jako przykład należy obliczyć $xz-yz$ jako $(x-y)z$ ponieważ odejmowanie jest źle uwarunkowane, podczas gdy mnożenie nie.

Jednak analiza błędów pierwszego rzędu obu algorytmów ujawnia, że różnią się one tylko trzykrotnie (*) i nie rozumiem, dlaczego można to uogólnić na wyrażenie (1), ani intuicyjnie nie rozumiem znaczenia kolejność operacji. Czy uważasz, że stwierdzenie to (1) jest przyjętą zasadą i czy masz na to inne wyjaśnienia?

*: dokładniej, w pierwszej wersji występuje błąd względny ograniczony

eps + 3) \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$ podczas gdy błąd względny drugiej wersji jest ograniczony przez

3) eps + \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} eps

$3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$

gdzie $\text{eps}$ jest precyzją maszyny.

Analiza ta opiera się na założeniu, że $i$ ty wynik pośredni jest mnożony przez $(1+\varepsilon_i)$ (z powodu błędów zaokrąglania), gdzie $\varepsilon_i$ są zmiennymi losowymi iid ograniczonymi przez $\text{eps}$ . „Pierwszego rzędu” oznacza, że terminy wyższego rzędu, takie jak $\epsilon_i\epsilon_jx$ , są zaniedbywane.

stability floating-point

— Bananach
źródło

Gdzie to przeczytałeś?

— David Ketcheson

w moich notatkach z wykładów

— Bananach

Oznaczmy przez (byłem leniwy, próbując uzyskać wersję operatora dzielenia w kółku) odpowiednio zmiennoprzecinkowe analogi dokładnego mnożenia ( ), dodawania ( ) i odejmowania ( ). Zakładamy (IEEE-754), że dla wszystkich $\otimes,\oplus,\ominus$ $\times$ $+$ $-$ gdzie to epsilon maszyny dający górną granicę błędu względnego z powodu zaokrąglenia. Będzie również użyć następującego lematu (przy założeniu, że wszystkie i nie jest zbyt duży), które mogą być łatwo sprawdzone:

[x \oplus y] = (x + y) (1 + δ_{\oplus}), | δ_{\oplus} | \leq ϵ_{m za do h},

$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$

ϵ_{m a c h}

$\epsilon_\mathrm{mach}$

| δ_{i} | \leq ϵ_{m a c h}

$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$

m

$m$

\prod_{ja = 1}^{m} (1 + δ_{ja}) = 1 + θ (m), | θ (m) | \leq \frac{m ϵ_{m za do h}}{1 - m ϵ_{m za do h}}

$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$

Zdefiniujmy prawdziwą funkcję która działa na liczbach rzeczywistych jak $f$ $x,y,z$

fa (x, y, z) = (x \times z) - (y \times z)

$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$

oraz dwie wersje implementacji funkcji w arytmetyki zmiennoprzecinkowej zgodnej z IEEE jako i które działają na reprezentacjach zmiennoprzecinkowych , w następujący sposób: $\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

\tilde{{fa}_{1}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} \otimes \tilde{z}) ⊖ (\tilde{y} \otimes \tilde{z}),

$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$

\tilde{{fa}_{2)}} (\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) = (\tilde{x} ⊖ \tilde{y}) \otimes \tilde{z} .

$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$

Analiza błędów dla : $\tilde{f_1}$

\begin{aligned} \tilde{{fa}_{1}} & = (\underset{(\tilde{x} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(x (1 + δ_{x}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{x z}})}} - \underset{(\tilde{y} \otimes \tilde{z})}{\underset{⏟}{(y (1 + δ_{y}) \times z (1 + δ_{z})) (1 + δ_{\otimes_{y z}})}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{x z}}) (1 + δ_{⊖}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{\otimes_{y z}}) (1 + δ_{⊖}) \\ = x z (1 + θ_{x z, 1}) - y z (1 + θ_{y z, 1}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$

| θ_{x z, 1} |, | θ_{y z, 1} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_2}$

\begin{aligned} \tilde{{fa}_{2)}} & = (((x (1 + δ_{x}) - y (1 + δ_{y}) (1 + δ_{⊖_{x y}})) \times (z (1 + δ_{z}))) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + δ_{x}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) - y z (1 + δ_{y}) (1 + δ_{z}) (1 + δ_{⊖_{x y}}) (1 + δ_{\otimes}) \\ = x z (1 + θ_{x, 2)}) - y z (1 + θ_{y, 2)}) . \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$

| θ_{x, 2} |, | θ_{y, 2} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_1}$

$x$ $y$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{{fa}_{1}} - fa |}{| fa |} & = \frac{| x z + x z θ_{x z, 1} - y z - y z θ_{y z, 1} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x z, 1} - y θ_{y z, 1} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m za do h}}{1 - 4 ϵ_{m za do h}}, \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{{fa}_{2)}} - fa |}{| fa |} & = \frac{| x z + x z θ_{x, 2)} - y z - y z θ_{y, 2)} - (x z - y z) |}{| x z - y z |} = \frac{| x θ_{x, 2)} - y θ_{y, 2)} |}{| x - y |} \\ \leq \frac{| x | + | y |}{| x - y |} \frac{4 ϵ_{m za do h}}{1 - 4 ϵ_{m za do h}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$

$\theta$ $x,y,z$ $(x-y)$ $x$ $y$

$x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$ $\mathbb F_0$

— Anton Menshov
źródło