Jak sformułować macierz bryły skupionej w MES

Przy rozwiązywaniu PDE zależnych od czasu za pomocą metody elementów skończonych, na przykład powiedzmy równanie cieplne, jeśli zastosujemy wyraźne stopniowanie czasu, wówczas musimy rozwiązać układ liniowy z powodu macierzy masy. Na przykład jeśli trzymamy się przykładu równania cieplnego,

$\frac{\partial{u}}{\partial{t}} = c\nabla{}^{2}u$

następnie za pomocą forward Euler otrzymujemy

$M(\frac{u^{n+1}-u^{n}}{dt}) = -cKu^{n}$

i dlatego, chociaż używamy jawnego schematu krokowego, nadal musimy rozwiązać układ liniowy. Jest to oczywiście poważny problem, ponieważ podstawową zaletą korzystania z jawnych schematów jest NIE zmuszanie do rozwiązywania układu liniowego. Czytałem, że powszechnym sposobem na obejście tego problemu jest zamiast tego użycie „zbrylonej” macierzy masy, która przekształca regularną (spójną?) Macierz masy w macierz diagonalną, a tym samym czyni inwersję banalną. Po przeprowadzeniu wyszukiwania w Google wciąż nie jestem do końca pewien, jak powstaje ta zbita matryca. Na przykład patrząc na artykuł DOŚWIADCZENIA NUMERYCZNE DOTYCZĄCE MASOWEGO UZDROWIENIA DLA RÓWNANIA DYFUZJI DAWKOWANIAEdson Wendland Harry i Edmar Schulz tworzą swoją zbitą macierz masy, po prostu sumując wszystkie współczynniki na przekątnej. Na przykład, jeśli nasza oryginalna spójna macierz masy była:

(\begin{matrix} 4 & 2) & 1 & 2) \\ 2) & 4 & 2) & 1 \\ 1 & 2) & 4 & 2) \\ 2) & 1 & 2) & 4 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

wtedy macierz bryły masy byłaby:

(\begin{matrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9\end{pmatrix}$

Moje pytanie brzmi zatem: czy jest to właściwy sposób na utworzenie matrycy bryłowej? Jakie wady występują przy stosowaniu matrycy bryłowej zamiast pełnej spójnej matrycy masowej pod względem dokładności? Autorzy wspomnianego przeze mnie artykułu faktycznie zasugerowali, aby nie stosować matrycy bryłowej, chociaż wydawało się, że używają jedynie domyślnego schematu krokowego, co moim zdaniem było dziwne, biorąc pod uwagę, że głównym powodem użycia takich macierzy są jawne metody.

Uwaga: nigdy nie użyłbym Eulera do rozwiązania równania ciepła, to był tylko przykład. Również jeśli ma to znaczenie, moim problemem jest rozwiązanie równań Naviera Stokesa, w których nieliniowy termin jest traktowany jawnie, a termin dyfuzji jest traktowany niejawnie.

Dzięki

finite-element time-integration navier-stokes

— James
źródło

O (n^{2})

$O(n^{2})$

Tak, mógłbym to zrobić, gdybym używał bezpośredniego solvera, ale jeśli używam PCG lub innego iteracyjnego solvera, nie sądzę, żeby to pomogło

— James

Osobiście nie ufam matematycznemu zbijaniu masy. Obliczeniowo nie daje to żadnej przewagi, chyba że dąży się do wyraźnego skracania czasu, w którym to przypadku macierz diagonalnej masy znacznie ułatwia rozwiązanie. Jeśli używasz niejawnej metody krokowej, nie zyskujesz rzadkości w matrycy. Myślę, że w tym momencie błąd pojawia się tylko wtedy, gdy nie używa się spójnej macierzy.

— Paweł

Dziwi mnie, że nikt nie wspomniał o metodzie Frieda i Markusa (1975) dla czworoboków, która wykorzystuje węzły w punktach Lobatto, aby uniknąć błędu błędu obcięcia. Nie stanowi problemu, dopóki nie przejdziesz do sześciennych, ale wyklucza elementy losowe. Pomysł został rozszerzony na trójkąty, ale wymaga specjalnej podstawy i kwadratury.

— L. Young

Nie sądzę, że istnieje jednoznaczna odpowiedź na to pytanie, ponieważ może się zmieniać z jednego tematu na inny (a także zależy od rodzaju używanych elementów). Mówi o tym także kilka ostatnich artykułów [2]. Nie jest to więc dyskusja zamknięta. Co więcej, możesz mieć różne komponenty bezwładnościowe (przynajmniej w mechanice), gdy masz elementy z więzami kinematycznymi, takie jak belki lub powłoki.

Zienkiewicz (patrz [1], sekcja 16.2.4) omawia trzy metody zrzucania macierzy masy

${M.}_{ja ja}^{(zbity)} = \sum_{jot} {M.}_{ja jot}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = \sum_j M_{ij}$
${M.}_{ja ja}^{(zbity)} = do {M.}_{ja ja}$ $M^{(\text{lumped})}_{ii} = c M_{ii}$ $c$ $\sum_j M^{(\text{lumped})}_{jj} = \int_\Omega \rho d\Omega$
$M$ $N_i=0$ $x=x_j$ $i\neq j$

Nie wszystkie metody działają we wszystkich przypadkach, na przykład metoda sumowania wierszy nie działa dla 8-węzłowych elementów losowych, ponieważ prowadziłoby to do ujemnych mas.

$M_{\text{tot}}$ $\mathrm{Tr}(M)$

{M.}_{ja ja}^{(zbity)} = \frac{{M.}_{brzdąc}}{T. r (M.)} {M.}_{ja ja} (brak podsumowania w dniu ja) .

$M^{(\text{lumped})}_{ii} = \frac{M_{\text{tot}}}{\mathrm{Tr}(M)} M_{ii} \quad \text{(no summation on $i$)} \enspace .$

Użyłem również metody 3 z tak zwanymi metodami elementów spektralnych z węzłami Lobatto (wykorzystując te lokalizacje jako węzły i punkty integracji), które automatycznie prowadzą do macierzy diagonalnych.

Z [1] można zobaczyć ten rysunek opisujący niektóre metody dla niektórych typów elementów Zrzucanie masy dla niektórych dwuwymiarowych elementów skończonych

Bibliografia

[1] Zhu, J., ZRL Taylor i OC Zienkiewicz. „Metoda elementu skończonego: jej podstawy i podstawy”. (2005): 54–102.

[2] Felippa, Carlos A., Qiong Guo i KC Park. „Szablony macierzy mas: opis ogólny i przykłady 1d”. Archiwa metod obliczeniowych w inżynierii 22.1 (2015): 1-65.

— nicoguaro
źródło