Jak próbkować punkty w przestrzeni hiperbolicznej?

Przestrzeń hiperboliczna w modelu górnej półprzestrzeni Poincaré wygląda jak zwykły ale z pojęciem kąta i odległości zniekształconym w stosunkowo prosty sposób. W przestrzeni euklidesowej mogę równomiernie próbkować losowy punkt w kuli na kilka sposobów, np. Generując niezależnych próbek Gaussa w celu uzyskania kierunku, i oddzielnie próbkować współrzędną promieniową poprzez równomierne próbkowanie od , gdzie jest promieniem, a ustawienie $\Bbb R^n$ $n$ $r$ $s$ $\left[0, \frac1{n+1}R^{n+1}\right]$ $R$ $r = \left((n+1)s\right)^{\frac1{n+1}}$ . W hiperbolicznej górnej płaszczyźnie połowy kula nadal jest kulą, tylko jej środek nie będzie środkiem w metrach euklidesowych, więc moglibyśmy zrobić to samo.

Jeśli chcemy próbkować według rozkładu nierównomiernego, ale wciąż w sposób izotropowy, np. Rozkład Gaussa, nie wydaje się to takie łatwe. W przestrzeni euklidesowej moglibyśmy po prostu wygenerować próbkę Gaussa dla każdej współrzędnej (działa to tylko dla rozkładu Gaussa) lub w równoważny sposób wygenerować wielowymiarową próbkę Gaussa. Czy istnieje bezpośredni sposób przekonwertowania tej próbki na próbkę w przestrzeni hiperbolicznej?

Alternatywnym podejściem może być najpierw wygenerowanie kierunku równomiernie rozłożonego kierunku (np. Z próbek Gaussa), a następnie próbki Gaussa dla komponentu promieniowego, a na koniec wygenerowanie obrazu pod mapą wykładniczą w określonym kierunku dla określonej długości. Odmiana polegałaby na pobraniu próbki euklidesowej Gaussa i zamapowaniu jej pod mapą wykładniczą. $n$

Moje pytania:

jaki byłby dobry i skuteczny sposób na uzyskanie próbki Gaussa przy danych średnich i standardowych odchyleniach w przestrzeni hiperbolicznej?
czy sposoby, które opisuję powyżej, zapewniają pożądane pobieranie próbek?
czy ktoś już opracował formułę?
jak to się uogólnia na inne wskaźniki i inne rozkłady prawdopodobieństwa?

Z góry dziękuję.

EDYTOWAĆ

Właśnie zdałem sobie sprawę, że nawet w przypadku jednolitego pobierania próbek pytania te pozostają; nawet jeśli kula jest kulą, rozkład równomierny nie byłby opisany przez stałą funkcję na kuli.

— doetoe
źródło

@ tak dzięki za komentarz. W każdej przestrzeni topologicznej znajduje się algebra sigma Borela, generowana przez topologię. Metryka Riemanniana daje pojęcie objętości. Jeśli całkowita objętość jest skończona, można ją znormalizować, aby uzyskać rozkład prawdopodobieństwa, lub bardziej ogólnie, daje to w bezpośredni sposób jednolity rozkład prawdopodobieństwa na mierzalnych zbiorach skończonej objętości. Ponieważ masz strukturę geometryczną, w tym pojęcie geodezyjne i długości łuku, możesz również zdefiniować rozkłady Gaussa według gęstości prawdopodobieństwa, która rozpada się na odległość w taki sam sposób, jak w przestrzeni euklidesowej

— doetoe

@ tak Próbkowanie wokół środka piłki w modelu piłki może być łatwiejsze, a następnie transportowanie jej przez izometrię, co najmniej euklidesowe i hiperboliczne obroty wokół środka pokrywają się. Jeśli jest to rzeczywiście najbardziej wydajne, pytanie sprowadzałoby się do sposobu próbkowania wokół centrum w modelu dyskowym zgodnie z normalnym rozkładem dla metryki hiperbolicznej.

— doetoe

Powinieneś być w stanie dostosować MCMC Riemanniana do rozmaitości Marka Girolamiego, aby wygenerować tutaj próbki. Ale może to być przesada. Robisz MCMC, ale generujesz propozycje, strzelając z geodezji z bieżącego punktu.

— Nick Alger

@NickAlger, który brzmi interesująco, czy masz link?

— doetoe

Oto jego główna praca na ten temat. Przekształcają problem próbkowania nierównomiernego rozkładu na płaskiej przestrzeni w problem próbkowania jednolitego rozkładu na rozmaitości, podczas gdy zaczynasz od równomiernego rozkładu na rozmaitości. rss.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/…

— Nick Alger

Jestem w trakcie robienia tego dla siebie. Myślę, że najbardziej odpowiednim analogiem do Gaussa byłoby jądro ciepła w przestrzeni hiperbolicznej. Na szczęście zostało to ustalone wcześniej: https://www.math.uni-bielefeld.de/~grigor/nog.pdf (dostępny również w Biuletynie London Mathematical Society ).

Jeśli użyjesz standardowego rozpadu ( $e^{-dist^2/constant}$ ), spodziewam się, że całkowita masa będzie większa niż 1, z powodu wykładniczego wzrostu objętości wraz z promieniem dla przestrzeni hiperbolicznej.

Aby równomiernie próbkować na danej kulce (lub innym zwartym zestawie), można wykonać próbne odrzucenie z formą objętości:

{(\frac{2)}{1 - | | x | |^{2)}})}^{n} re x_{1} \dots re x_{n}

$\left(\frac{2}{1-||x||^2} \right)^n \, dx_1 \, \ldots \, dx_n$

Oto jednolita próbka dla kulki o promieniu 3 wyśrodkowanej na początku:

W razie potrzeby chętnie powiem więcej. Pomyślałem, że to powiem, ponieważ wyraźnie było to zainteresowanie, przynajmniej w przeszłości.

— Edward Chien
źródło

Podziękować! Nie miałem jeszcze czasu na przestudiowanie podobającego się artykułu, ale wygląda interesująco i trafnie

— doetoe

σ / 2

$\sigma / 2$

Stała pi jest tylko stałą w przestrzeni euklidesowej. Wartość pi jest inna w innych geometriach. Parametr pi zmienia masę prawdopodobieństwa pod Gaussa. Parametr pi służy do normalizacji prawdopodobieństw. Właśnie zaczynam się uczyć.

Jakiś czas temu doszedłem do wniosku, że przestrzeń zmienia się z hiperbolicznej na euklidesową w sferyczną wraz ze wzrostem liczby sigm. Z przyjemnością natknąłem się na dyskusję o kręgach w każdej przestrzeni i pi jako funkcję przestrzeni Lp za pomocą parametru p.

— David W Locke
źródło