Czy istnieje uogólnienie prawa bezwładności Sylvester'a dla problemu symetrycznego uogólnionej wartości własnej?

Wiem, że w celu rozwiązania symetryczne zagadnienie własne , możemy użyć Sylvester Inertia ustawę, czyli liczba wartości własnych mniej niż równa liczbie negatywnych wpisów gdzie przekątnej macierzy pochodzi od Faktoryzacja LDL dla . Następnie, metodą bisekcji, możemy znaleźć wszystkie lub niektóre wartości własne według potrzeb. Chciałbym wiedzieć, czy istnieje uogólnienie prawa bezwładności Sylvester'a dla symetrycznych uogólnionych problemów z wartością własną, czyli rozwiązywanie , gdzie i są macierzami symetrycznymi. Dzięki.$Ax = \lambda x$$A$$a$$D$$D$$A-aI = LDL^{T}$$Ax= \lambda Bx$$A$$B$

Tak, jeśli ołówek jest określony, tj. Jeśli $A$ i $B$ są hermitami i $B$jest pozytywnie określony. Następnie podpis$A-\sigma B$ ma taką samą interpretację problemu wartości własnej $(A-\lambda B)x=0$ jak w przypadku $B=I$. Bardziej ogólny wynik tego rodzaju dotyczy każdego określonego problemu nieliniowej wartości własnej$A(\lambda)x=0$. Zobacz rozdział 5.3 mojej książki

Arnold Neumaier, Wprowadzenie do analizy numerycznej, Cambridge Univ. Press, Cambridge 2001.

Dla $(A-\lambda B)x=0$, dowodu mojego twierdzenia można wywnioskować z argumentu podanego przez Jacka Poulsona $C-\sigma I$ i $A-\sigma B$ są przystające, a zatem mają tę samą bezwładność.

W szczególności można bezpośrednio obliczyć bezwładność $A-\sigma B$i nie wymaga faktoryzacji Cholesky'ego $B$ uformować $C$. Rzeczywiście, jeśli$B$ jest źle uwarunkowane, a następnie formacja numeryczna $C$ obniża jakość testu bezwładności.

W przypadku, gdy $B$ jest hermitowskim i pozytywnie określonym, rozkładem Choleskiego na $B$, mówić $B = L L^H$, daje to

a tym równaniem można manipulować, aby to pokazać

gdzie powinno być jasne, że $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ zachowuje symetrię $A$, a także ma to samo spektrum co ołówek $(A,B)$. Tak więc po uformowaniu$C$, z faktoryzacją Cholesky'ego, a następnie dwustronnym trójkątnym rozwiązaniem , możesz bezpośrednio zastosować prawo bezwładności Sylvester do$C$ zbierać informacje o wartościach własnych ołówka $(A,B)$.

Należy zauważyć, że ponieważ prawo bezwładności Sylvester'a jest niezmienne w odniesieniu do transformacji przystawności , np.$S \cdot S^H$, a następnie macierz $C$ jest zgodny z $A$ poprzez transformację $L^{-1} \cdot L^{-H}$, a więc $C$ ma taką samą bezwładność jak $A$. Jeśli jednak bezwładność$C-\sigma I$ jest pożądane, dla niektórych niezerowych przesunięć $\sigma$, nie możemy już po prostu rozważyć $A$.