Czy można zastosować metodę linii do dyskretyzacji wszystkich PDE?

Przekonałem się, że metoda linii jest bardzo naturalnym sposobem myślenia o dyskretyzacji PDE. Dlatego zawsze przestawiam się na ten sposób myślenia, gdy otrzymuję nowy zestaw równań. Nigdy nie widziałem PDE, w którym to by nie działało.

Zastanawiam się, czy istnieją metody dyskretyzacji (lub typy PDE), których nie można sformułować metodą linii. Oczekuję, że każdy PDE, w którym pochodna czasu jest domniemana w równaniu i nie może być rozwiązany, byłby jednym takim przypadkiem (chociaż nie znam żadnego faktycznego przykładu). Szukam rozumowania, dlaczego metoda linii ma zawsze zastosowanie lub kontrprzykład.

Jedną z sytuacji, w której zwykłe podejście do metody linii nie może być zastosowane w prosty sposób, to równania, które mają mieszane pochodne czasoprzestrzenne. Przez „zwykłe podejście do metody linii” mam na myśli dyskretyzację pochodnych przestrzennych, po której następuje zastosowanie metody Runge-Kutta lub liniowej metody wieloetapowej. Zwykle dotyczy to wyłącznie systemów PDE ewolucji pierwszego rzędu (w czasie).

Przykładem równań z takimi mieszanymi pochodnymi jest równanie. (2.1) z http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/060676064 .

W przynajmniej niektórych przypadkach możliwe jest przepisanie takich równań, jak systemy pierwszego rzędu ewolucji PDE, ale nie widzę od razu sposobu, aby to zrobić. Mogą istnieć inne sztuczki, aby zastosować metodę linii do takich równań, ale nie znam ich.