Co z tym prostym oszacowaniem błędu dla liniowego PDE?

10

Niech $\Omega$ być wypukła wielobocznie ograniczony Lipschitz domeny w $\mathbb R^2$ , niech $f \in L^2(\Omega)$ .

$\Delta u = f$ $\Omega$ $\operatorname{trace} u = 0$ $\partial\Omega$ $H^2$ $C$ $\|u\|_{H^2} \leq C \|f\|_{L^2}$

Dla niektórych przybliżeń elementów skończonych , powiedzmy, z elementami węzłowymi na jednolitej siatce, mamy oszacowanie błędu $u_h$

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| u \|_{H^2}$

Wydaje się (może się mylę), że ludzie zwykle nie używają oszacowania oczywistego błędu

$\| u - u_h \|_{H^1} \leq C h \| f \|_{L^2}$

które możemy uzyskać przez połączenie powyższych dwóch nierówności. Zamiast tego opracowano estymatory błędu a posteriori w różnych formach. Jedynym zarzutem, jaki mogę sobie wyobrazić w stosunku do powyższego równania, jest to, że stała może w praktyce być zbyt pesymistyczna lub nie do wiarygodnie oszacowalna. $C$

pde finite-element error-estimation

— shuhalo
źródło

8

Moim zdaniem ludzie wolą korzystać z pierwszego oszacowania, ponieważ moim zdaniem pierwszy wynika naturalnie z ortogonalności MES Galerkina, własności aproksymacji interpolacji, a przede wszystkim ze spójności postaci dwuliniowej (dla problemu wartości granicznej równania Poissona , jest to równoważne z nierównością Poincarégo / Friedrichsa dla funkcji ): $H^1_0$

\begin{aligned} ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1} (Ω)}^{2} & \leq c_{1} ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} \\ ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} & = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - u_{h}) \\ = \int_{Ω} \nabla (u - u_{h}) \cdot \nabla (u - I u) \\ \leq ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \\ \Rightarrow ‖ \nabla (u - u_{h}) ‖_{L^{2} (Ω)} & \leq ‖ \nabla (u - I u) ‖_{L^{2} (Ω)} \leq c_{2} h ‖ u ‖_{H^{2} (Ω)} \end{aligned}

$\begin{aligned} \|u - u_h\|^2_{H^1(\Omega)} &\leq c_1 \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} \\ \| \nabla (u - u_h) \|^2_{L^2(\Omega)} &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- u_h) \\ &= \int_{\Omega} \nabla(u- u_h)\cdot \nabla(u- \mathcal{I}u) \\ &\leq \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \\ \Rightarrow \| \nabla (u - u_h) \|_{L^2(\Omega)} &\leq \| \nabla (u - \mathcal{I}u) \|_{L^2(\Omega)} \leq c_2 h\| u\|_{H^2(\Omega)} \end{aligned}$ gdzie zależy od stałej w nierówności Poincarégo / Friedrichsa dla funkcji , jest interpolacją w skończonej element przestrzeni i

c_{1}

$c_1$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

I u

$\mathcal{I}u$

u

$u$

c_{2}

$c_2$ zależy od minimalnych kątów siatki.

O ile oszacowanie regularności eliptycznej jest wyłącznie na poziomie PDE, nie ma to nic wspólnego z przybliżenie plus powyższy argument obowiązuje nawet wtedy, gdy jest rozkładem. $\|u \|_{H^2(\Omega)}\leq c\|f\|_{L^2(\Omega)}$ $f\in H^{-1}$

Przejdźmy teraz do tego, dlaczego szacunki błędu a posteriori są szeroko stosowane, głównie dlatego, że:

Można to obliczyć, nie ma stałej ogólnej w wyrażeniu szacunków.
Estymator ma swoją lokalną postać, która może być lokalnym wskaźnikiem błędu używanym w procedurze adaptacyjnego oczyszczania siatki. Dlatego można rozwiązać problem z osobliwościami lub naprawdę „złymi” geometriami.

Oba wymienione przez ciebie szacunki typu a priori są prawidłowe, dostarczają nam informacji o rzędach zbieżności, jednak żaden z nich nie może być lokalnym wskaźnikiem błędu tylko dla jednego trójkąta / czworościanu, ponieważ żaden z nich nie jest obliczalny ze względu na stałą , ani nie są zdefiniowane lokalnie.

EDYCJA: Aby uzyskać bardziej ogólne spojrzenie na MES eliptyczne PDE, gorąco polecam przeczytanie rozdziału 0 w książce Brennera i Scotta: The Mathematical Theory of Finite Element Methods , która składa się tylko z 20 stron i obejmuje pokrótce prawie każdy aspekt metod elementów skończonych , od formuły Galerkin z PDE, po motywację, dla której chcielibyśmy zastosować adaptacyjne MES, aby rozwiązać jakiś problem. Mam nadzieję, że to pomoże ci bardziej.

— Shuhao Cao
źródło

1

Twoje szacunki są zbyt pesymistyczne na dwóch frontach. Zidentyfikowałeś już pierwszy ( obejmuje teraz nie tylko stałą interpolacji, ale także stałą stabilności). Po drugie, szacunek błędu naprawdę czyta Zauważ, że prawa strona ma seminorm , a nie normę. Oczywiście możesz związać RH pełną normą, ale w ten sposób znów przegrywasz. $C$

‖ \nabla e ‖_{L_{2}} \leq C h | u |_{H^{2}} .

$\|\nabla e\|_{L_2} \le C \;h\; |u|_{H^2}.$

H^{2}

$H^2$

— Wolfgang Bangerth
źródło