Jak ustalić, czy numeryczne rozwiązanie PDE jest zbieżne z rozwiązaniem kontinuum?

Twierdzenie Lax o równoważności stwierdza, że spójność i stabilność schematu numerycznego dla problemu liniowej wartości początkowej jest koniecznym i wystarczającym warunkiem konwergencji. Jednak w przypadku problemów nieliniowych metody numeryczne mogą być bardzo prawdopodobne w przypadku nieprawidłowych wyników, mimo że są spójne i stabilne. Na przykład w tym artykule pokazano, w jaki sposób metoda Godunowa pierwszego rzędu zastosowana do równań liniowych płytkich wód 1D zbiega się do nieprawidłowego rozwiązania.

Najwyraźniej samokonwergencja pod siatką i udoskonalenie kroku czasu nie są wystarczające, ale dokładne rozwiązania zasadniczo nie są dostępne dla nieliniowych PDE, więc jak można ustalić, czy metoda numeryczna jest zbieżna z prawdziwym rozwiązaniem?

pde stability convergence

— Jed Brown
źródło

Tak zwana metoda wytworzonych rozwiązań zapewnia dokładne rozwiązania wszystkich problemów. Może nie być w stanie wygenerować rodzaju problematycznych rozwiązań, które opisujesz, ale nie jest tak, że dokładne rozwiązania nigdy nie są dostępne.

— Bill Barth

Myślę, że jest to trudne, ponieważ trzeba odgadnąć rozwiązanie z rodzajem nieciągłości, który nie jest dobrze przybliżony metodą rozwiązania.

— Matt Knepley,

Zgadzam się, że prawdopodobnie trudno jest stworzyć rozwiązania, które pobudzają problematyczne tryby, o których wspomina Jed. Chciałem tylko zauważyć, że dokładne rozwiązania są zawsze dostępne do testowania. Nie wiem, co się stanie, jeśli stworzysz rozwiązanie równań 1D zlinearyzowanych płytkich wód przy użyciu, powiedzmy, kombinacji funkcji trygonowych i wykładniczych (typowych dla rozwiązań MoM), obróć pokrętło, aby uzyskać odpowiednie warunki źródłowe, i uruchom je w ramach programu Godunowa pierwszego rzędu. Może Jed może spróbować i zdać relację.

— Bill Barth

MoM jest świetnym narzędziem, ale w tym przypadku problemem jest to, że dyfuzja jest niewłaściwie zastosowana w szoku. Gdzie indziej dyfuzja zbliżona do zera równomiernie na każdym równaniu jest akceptowalna, ale dyfuzja nie zbiega się do zera wewnątrz szoku, więc zastosowanie dyfuzji numerycznej do każdego składnika równomiernie skutkuje nieprawidłową dynamiką. Napiszę długą odpowiedź na to pytanie, kiedy będę miał czas, jeśli nikt mnie nie pokona.

— Jed Brown,

@Jed, czy LET nie powinien mieć zastosowania do równań zlinearyzowanych?

— Matt Knepley,

Odpowiedzi:

Istnieją dwie główne klasy rozwiązań, które należy omówić w tym zakresie.

„Wystarczająco” płynne rozwiązania

W klasycznej pracy Stranga wykazano, że twierdzenie Lax o równoważności (tj. Idea, że spójność plus stabilność implikuje konwergencję) rozciąga się na nieliniowe rozwiązania PDE, jeśli mają pewną liczbę ciągłych pochodnych . Zauważ, że ten artykuł koncentruje się na problemach hiperbolicznych, ale wynik przenosi się na problemy paraboliczne. Liczba potrzebnych instrumentów pochodnych jest kwestią techniczną, ale takie podejście zwykle stosuje się do rozwiązań, które w dużym stopniu spełniają kryteria PDE.

Rozwiązania nieciągłe

Z drugiej strony mamy „rozwiązania” PDE z nieciągłościami , które zazwyczaj wynikają z nieliniowych praw zachowania hiperbolicznego . W tej sytuacji nie można oczywiście powiedzieć, że rozwiązanie to spełnia zasadę PDE w silnym znaczeniu, ponieważ nie można go odróżnić w jednym lub kilku punktach. Zamiast tego należy wprowadzić pojęcie słabego rozwiązania , które zasadniczo sprowadza się do wymagania, aby rozwiązanie spełniało integralne prawo zachowania.

Udowodnienie zbieżność sekwencji rozwiązań jest również trudne w tym przypadku, jak trwałość w porównaniu nie jest wystarczające; zwykle sekwencja musi znajdować się w zwartej przestrzeni, takiej jak zbiór funkcji z pewną skończoną maksymalną zmiennością całkowitą. $L_p$ $L_\infty$

Jeśli można wykazać, że sekwencja jest zbieżna do czegoś, a metoda jest zachowawcza, to twierdzenie Laxa-Wendroffa gwarantuje, że zbiega się w słabym rozwiązaniu prawa zachowania. Jednak takie rozwiązania nie są wyjątkowe . Określenie, które słabe rozwiązanie jest „prawidłowe”, wymaga informacji, które nie są zawarte w hiperbolicznym PDE. Zasadniczo hiperboliczne PDE są uzyskiwane przez zaniedbanie parabolicznych terminów w modelu kontinuum, a prawidłowe słabe rozwiązanie może zależeć dokładnie od tego, które paraboliczne terminy zostały odrzucone (ten ostatni punkt jest przedmiotem artykułu powiązanego z pytaniem powyżej ).

To bogaty i zaangażowany temat, a teoria matematyki jest daleka od ukończenia. Większość dowodów na zbieżność dotyczy problemów 1D i opiera się na specjalistycznych technikach. Dlatego prawie wszystkie rzeczywiste rozwiązania obliczeniowe hiperbolicznych praw zachowania w praktyce nie mogą być udowodnione jako zbieżne z istniejącymi narzędziami. Praktyczną dyskusję z obliczeniowego punktu widzenia można znaleźć w książce LeVeque (rozdziały 8, 12 i 15); dla bardziej rygorystycznego i szczegółowego leczenia sugerowałbym Dafermos .

— David Ketcheson
źródło

Nie mam tu nic do dodania poza wskazaniem, że ilekroć metody numeryczne mają problem z równaniami hiperbolicznymi (i są zbieżne z niewłaściwym rozwiązaniem), zwykle nie jest to spowodowane szokiem. Obszary, z którymi mają trudności, to raczej fale rozrzedzające - w których rozwiązanie jest gładkie.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
źródło

Jest to doskonała kwestia, choć w ścisłym tego słowa znaczeniu jest ortogonalna. Poruszasz kwestię konwergencji do właściwego słabego rozwiązania, co w rzeczywistości jest bardziej problematyczne w praktyce niż kwestia konwergencji do jakiegoś słabego rozwiązania.

— David Ketcheson