ważony problem SVD?

Biorąc pod uwagę dwie macierze i , to, że, aby znaleźć kierunków i takie, że W postaci macierzowej próbuję zminimalizować normę Frobeniusa . $A$ $B$ $x$ $y$

min \sum_{i j} (A_{i j} - x_{i} y_{j} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - x_i y_j B_{ij})^2.$

A - diag (x) \cdot B \cdot diag (y) = A - B \circ (x y^{⊤})

$A - \mbox{diag}(x) \cdot B \cdot \mbox{diag}(y) = A - B \circ (x y^\top)$

Na ogół, ja, aby znaleźć wiele wektor jednostkowy $x$ i $y$ „S w postaci

min \sum_{i j} (A_{i j} - \sum_{k = 1}^{n} s_{i} x_{i}^{(k)} y_{j}^{(k)} B_{i j})^{2} .

$\min \sum_{ij} (A_{ij} - \sum_{k=1}^n s_i x_i^{(k)} y_j^{(k)} B_{ij})^2.$ gdzie

s_{i}

$s_i$ są dodatnimi rzeczywistymi współczynnikami.

Jest to równoważne rozkładowi liczby pojedynczej (SVD), gdy $(B)_{ij} = 1$ .

Czy ktoś wie, jak nazywa się ten problem? Czy istnieje znany algorytm, taki jak SVD, do rozwiązania takiego problemu?

(migracja z math.SE)

linear-algebra matrix reference-request

— Memming
źródło

Uważam, że jest to uogólniony SVD . Wpis w Wikipedii nie jest zbyt szczegółowy, więc prawdopodobnie powinieneś sprawdzić powiązane źródła. W szczególności pomocna może być strona 466 tego linku do książek Google.

— ely

Dla mnie nie przypomina to uogólnionego SVD. Zwłaszcza, że B niekoniecznie musi być ukośne lub symetryczne, dlatego każdy

x

$x$ lub

y

$y$ może pojawić się wiele razy w sumie.

— Victor Liu

B nie musi być ukośny ani symetryczny w uogólnionym SVD. Oba podane przeze mnie ogniwa wskazują, że A i B mogą być ogólnie macierzami o wartościach zespolonych o wymiarach odpowiednio M-by-N i P-by-N.

— ely

Dzięki za sugestię @EMS. Byłbym wdzięczny za opracowanie połączenia.

— Memming

Jest to dalekie od uogólnionego SVD.

Jeśli B jest macierzą dodatnią, możesz użyć mojego pakietu BIRSVD http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/

Artykuł http://www.mat.univie.ac.at/~neum/software/birsvd/svd_incomplete_data.pdf opisujący tamtejszą metodę podaje również odniesienia, które możesz rozważyć w celu przeszukania literatury.

— Arnold Neumaier
źródło

Ach, przekształcając problem w ważone przybliżenie niskiego poziomu! Wielkie dzięki!

— Memming

Aby dodać szczegóły do odpowiedzi @ Arnolda, problem ten można przekształcić w ważony problem przybliżenia niskiej rangi, w którym celem jest zminimalizowanie ważonej normy zamiast normy Frobeniusa. gdzie i oznacza produkt Schur (aka Produkt Hadamard).

| | C - \sum s_{i} x_{i} y_{i}^{⊤} | |_{W}^{2}

$||C - \sum s_i \mathbf{x_i} \mathbf{y_i^\top}||^2_W$

| | C | |_{W} = | | C \circ W | |_{F}

$||C||_W = ||C \circ W||_F$

\circ

$\circ$

— Memming

Tak. To nadaje ładne imię twojemu problemowi. Jak to rozwiązać, to inna sprawa. Nie jest to standardowy problem i dość trudne było znalezienie algorytmu, który byłby jednocześnie szybki i niezawodny.

— Arnold Neumaier

@ArnoldNeumaier to jest świetne, dziękuję. czy można uzyskać licencję i informację o prawach autorskich za pomocą kodu? W tej chwili jest to oprogramowanie prawnie zastrzeżone. Jeśli wydasz go na GPLv3 lub jest kompatybilny, może znaleźć drogę do pakietu algebry liniowej GNU Octave.

— JuanPi