Jak narzucić warunki brzegowe metodami różnic skończonych

Mam problem, gdy chcę zastosować przybliżenie różnicy centralnej wysokiego rzędu:

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

dla równania Poissona

w domenie kwadratowej, w której warunki brzegowe są następujące:

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

Kiedy chcę uzyskać wartość wewnętrznych punktów domeny, biorąc pod uwagę to przybliżenie, niektóre punkty zależą od zewnętrznych punktów granicy. Na przykład musi mieć wartość punkt, który jest poza granicą. Czy ktoś może mi pomóc w tej sprawie? $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

pde finite-difference

— Liona
źródło

Zakładam, że używasz warunków brzegowych dirichleta, prawda?

— Paweł

Podaj warunki brzegowe, które chcesz nałożyć.

— David Ketcheson

Być może kluczem jest wykorzystanie warunków brzegowych do uzyskania ograniczeń związanych z tymi wartościami. Nie mogę się rozwinąć, ponieważ nigdy nie próbowałem rozwiązać liczbowo PDE, ale ten pomysł działa na ODE. Czy ktoś może to potwierdzić?

— astrojuanlu

W przypadku metod wyższego rzędu może być trudno zapewnić stabilność metody, wypełniając w ten sposób komórki-duchy. To powiedziawszy, problemy eliptyczne są zazwyczaj bardziej wybaczające z mojego doświadczenia, więc możesz być w stanie uciec od tego.

— Jeremy Kozdon

liona, możesz edytować swoje pytanie i dodać warunki brzegowe, co jest znacznie lepsze niż umieszczanie ich w komentarzach.

— David Ketcheson

Odpowiedzi:

Możesz przyjrzeć się metodom różnic skończonych sumowania według części (SBP). Ken Mattsson wykonał wiele pracy nad tymi metodami. Dobre miejsce do rozpoczęcia jest tutaj (stałe współczynniki) i tutaj (zmienne współczynniki).

Zasadniczo sposób działania tych metod jest taki, że są one standardowymi metodami centralnymi we wnętrzu i przejściem do jednostronnego w pobliżu granicy. Ważną częścią technologii SBP jest to, że przejście na jednostronne jest takie, że stabilność metody dla problemów zależnych od czasu można udowodnić nawet po uwzględnieniu warunków brzegowych. (Jest to możliwe, ponieważ sami operatorzy „definiują” normę, która naśladuje dyskretną integrację części).

Mówisz, że patrzysz na równanie Poissona, nie jestem całkowicie pewien, w jaki sposób warunki brzegowe są stabilnie uwzględnione w operatorach SBP i równaniach eliptycznych. Mam kolegę, który bawił się tymi problemami z problemami eliptycznymi i wydaje się wskazywać, że to naprawdę nie ma znaczenia, co robisz.

— Jeremy Kozdon
źródło

Istnieją inne szablony, za pomocą których można uzyskać wysoką dokładność rzędu w pobliżu punktów granicznych. Twój obecny szablon ma postać:

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

Ale możesz także użyć innego szablonu w pobliżu granicy w następujący sposób:

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

$u_{1,1}$ . Zauważ, że współczynniki w drugim szablonie będą się różnić od współczynników w pierwszym wzorze.

Podobnie można przybliżać wartość na przeciwległej granicy za pomocą podobnej formuły.

— Paweł
źródło

u_{1, 1}

$u_{1,1}$

Jak mogę uzyskać współczynniki?

— liona

Aby zrozumieć, jak uzyskać formuły różnic skończonych, dobrym odniesieniem jest Rozdział 1 książki Leveque: faculty.washington.edu/rjl/fdmbook . Jest to seria Taylora i odrobina algebry.

— David Ketcheson

O (h^{2})

$O(h^2)$

O (h^{2})

$O(h^2)$

A U (x + h)

$AU(x+h)$

B U (x)

$BU(x)$

C U (x - h)

$CU(x-h)$

D U (x - 2 h)

$DU(x-2h)$

E U (x - 3 h)

$EU(x-3h)$

U_{x x}

$U_{xx}$

-4

proszę zobaczyć mój artykuł FDM, który można znaleźć w Researchgate pod moim imieniem David Edwards jr. jeśli masz pytania, chętnie pomogę.

David

— David
źródło

Samo udzielanie instrukcji, aby ludzie szukali gdzie indziej, nie jest przydatną odpowiedzią. Jako minimum należy podać streszczenie odpowiedzi tutaj i link do dalszych szczegółów. Co więcej, wielu z nas nie zgadza się ze sposobem prowadzenia ResearchGate, dlatego też unikają wszelkich interakcji z tą witryną, uniemożliwiając w ten sposób zapoznanie się z Twoją pracą za pomocą sugerowanej metody.

— Doug Lipiński

Popraw swoją odpowiedź, aby zawierała streszczenie tła, które Twoim zdaniem jest potrzebne do udzielenia odpowiedzi na pytanie. Odpowiedzi mają być względnie niezależne; skierowanie czytelnika do poszukiwania własnego artykułu nie jest samodzielne i jest o wiele mniej pomocne niż dostarczenie streszczenia jego treści.

— Geoff Oxberry