Podstawowe objaśnienie funkcji kształtu

Właśnie zacząłem studiować MES w bardziej uporządkowany sposób w porównaniu do tego, co robiłem na studiach licencjackich. Robię to, ponieważ pomimo faktu, że mogę używać „MES” w komercyjnym (i innym niekomercyjnym) oprogramowaniu, chciałbym naprawdę zrozumieć podziemne techniki, które wspierają tę metodę. Dlatego przychodzę tutaj z takim, przynajmniej dla doświadczonego użytkownika techniki, podstawowym pytaniem.

Teraz czytam dość popularną (jak sądzę) i „przyjazną dla inżyniera” książkę pod tytułem „Metoda elementów skończonych - podstawy” Zienkwicza. Czytałem tę książkę od pierwszej strony, ale jeszcze nie rozumiem pojęcia funkcji kształtu w sposób, w jaki Zienkwicz ją wyjaśnia.

Z rzeczy, które przeczytałem, wiem o tym, że macierz „sztywności”, która łączy nieznane z wynikiem ( w: A k = b ), ma swoje komponenty z „relacji między węzłami” , a jeśli ta „relacja” zmieni się (tj. jeśli zmienimy ją na interpolant wyższego rzędu), ta macierz sztywności zmieni się, ponieważ zmienia się relacja między węzłami.$A$$Ak=b$

Ale w tej książce definicja jest dla mnie dość rozmyta, ponieważ w pewnym momencie mówi się, że możesz dowolnie wybrać funkcję jako, tj. Macierz tożsamości:

Jedyne wyjaśnienie, które znalazłem, znajduje się na tym blogu , ale wciąż nie jest dla mnie tak jasne. Ktoś może mi zatem wyjaśnić w prosty sposób, czym jest funkcja Shape i jak to zrobić, aby „umieścić” ją w macierzy sztywności?

Zawsze znajdowałem podejście do opisu metod elementów skończonych, które koncentruje się na dyskretnym układzie liniowym i działa niepotrzebnie zagmatwając wstecz. O wiele łatwiej jest pójść w drugą stronę, nawet jeśli na początku wymaga to trochę notacji matematycznej (którą postaram się ograniczyć do minimum).

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

W inżynieryjnym podejściu do MES w mechanice strukturalnej, w jaki sposób jest on przedstawiany, tracisz poczucie, że rozwiązujesz równania różniczkowe cząstkowe .

Pokazują ci te matryce, przywiązują jakieś fizyczne znaczenie, i moim zdaniem prowadzi to do rozwinięcia wątpliwej fizycznej intuicji w tej dziedzinie.

Pomocne może okazać się przemyślenie geometrii przedmiotu. Rozwiązaniem problemu wartości granicznej dla PDE jest pewien kształt. VI Arnol powiedział kiedyś, chwaląc osiągnięcia Newtona w terenie, parafrazując - zrobił cudowną rzecz, tworząc pole równań różniczkowych, pozwalając nam przeformułować problemy nauk przyrodniczych na geometryczne problemy krzywych w płaszczyźnie i powierzchni w przestrzeni.

W FEM przybliżasz rozwiązanie (w FD i FVM przybliżasz równanie rządzące).

Wpisz Boris Gligorievich Galerkin. Co powiedział BG Galerkin?

Powiedział: „ Chcę, żebyś nie mógł pozostać przy tych samych funkcjach podstawowych, co kiedyś tworzyłeś rozwiązanie. ”

(PS Ta historia jest całkowicie nieprawdziwa i wzywam moich czytelników do znalezienia lepszego wyjaśnienia metody (Bubnov-) Galerkina, jeśli istnieje).

Funkcje podstawowe lub funkcje próbne to te, których używasz do zbudowania rozwiązania. Używasz ich do przybliżenia kształtu rozwiązania.

$Ku=f$

$Ku=f$

Najważniejszą rzeczą, jaką należy wiedzieć o „funkcjach kształtu”, jest to, że opisują one, w jaki sposób zmienne zależne, które chcesz obliczyć (np. Przemieszczenie), zmieniają się w zależności od współrzędnych przestrzennych elementu (np. X i y) pod względem niektóre nieznane parametry skalarne.

Często funkcjami kształtu są proste wielomiany, a parametrami skalarnymi są wartości zmiennych zależnych w węzłach elementu.

Formowanie równań elementów skończonych za pomocą tych funkcji kształtu wymaga kilku innych podstawowych pojęć, takich jak ustanowienie „słabej postaci” równania różniczkowego cząstkowego, które próbujesz rozwiązać.

Istnieje wiele niepotrzebnych „mistycyzmów” związanych z metodą elementów skończonych, dlatego zachęcam do podejścia do próby dokładnego zrozumienia podstaw.

Moje ujęcie znajduje się w wykładzie 4 na stronie http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html . W szczególności daje wyobrażenie o tym, dlaczego wybieramy funkcje kapelusza, których zwykle używamy, gdy używamy metody elementu skończonego - mianowicie dlatego, że prowadzą one do ważnej koncepcji rzadkości, mimo że wiele innych wyborów funkcji bazowych byłoby równie ważne.

Każdy element skojarzył z nim model przemieszczenia, który wyraża zmienność zmiennej pola (zmiennej zależnej) w kategoriach uogólnionych współczynników i zmiennych niezależnych (x, y, z) np .: 1D u (x) = a0 + a1x dla 2 węzłów liniowych element u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 dla 3 węzłowego elementu kwadratowego i tak dalej. Oto ai to współczynniki uogólnione. Następnie eliminujemy ai i wyrażamy zmienność zmiennej pola pod względem funkcji kształtu i wartości węzłowych zmiennej pola. np .: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Funkcja, która łączy zmianę zmiennej pola z wartością węzłową zmiennej pola, nazywana jest „FUNKCJĄ KSZTAŁTU”. Liczba funkcji kształtu będzie zależeć od liczby węzłów i liczby zmiennych na węzeł. Funkcje kształtu można zatem postrzegać jako funkcje, które oznaczają udział każdej wartości węzłowej w wewnętrznych punktach elementu. Dla dwuczęściowego elementu W węźle 1 wkład N1 jest jednością, a udział N2 wynosi zero.

W węźle 2 udział N2 jest jednością, a udział N1 wynosi zero.

W środkowym punkcie elementu oba węzły mają jednakowy ciężar lub wpływ. Funkcje kształtu wskazują więc nie tylko, jak zmienna pola zmienia się w elemencie, ale także, jak duży wpływ ma każda wartość węzłowa zmiennej pola w wewnętrznych punktach elementu. Miłej nauki :)

Wyjaśniłem także bardziej szczegółowo funkcje kształtu tutaj: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Wyjaśnia krok po kroku w sposób wizualny, jak działa metoda Rayleigha-Ritza. W końcu napisanie tego artykułu pomogło mi zrozumieć funkcje kształtu.

według mojego zrozumienia .. funkcje kształtu są niczym innym jak relacją między zmiennymi pola i punktami węzłowymi.

Załóżmy, że nasza ziemia jest pod ciśnieniem z zewnętrznych obciążeń, a nasza ziemia zaczyna pękać. metodą analityczną używamy wielu formuł i dowiadujemy się, że w pewnym momencie (jak na przykład w Azji Kontynentalnej) ziemia zaczyna pękać. Stosując metodę MES, dzielimy ziemię na różne kraje, stany i miasta, łączymy poszczególne miasta i ostatecznie łączymy wszystkie miasta, tworząc jedną kulę ziemską zwaną ziemią. funkcje kształtu są kluczem, który stanowi pomost między miastami w siatce, tworząc państwo i kraj, a na końcu glob. to połączenie łączy siatkę. Po wykonaniu tej czynności ładunek jest nakładany i można znaleźć dokładne miejsce, w którym zaczyna się pęknięcie, które można wzmocnić.

mam nadzieję, że to ci pomogło.

Zgodnie z tym, co rozumiem o funkcjach kształtu, chodzi o połączenie geometrycznych współrzędnych węzłowych z przesunięciem elementu o tej samej funkcji kształtu.

Rozważ przypadek 1D. Kończy się pasek z 2 węzłami.

Kiedy łączę ten element z jego współrzędnymi węzłowymi, mogę znaleźć przemieszczenie w dowolnym punkcie tego elementu za pomocą funkcji interpolacji.

Tak więc, w zasadzie funkcje kształtu są przybliżeniami, które wykonujemy, aby znaleźć deformację w dowolnym punkcie przestrzeni w godny pochwały sposób.

Funkcje kształtu to funkcje, które odnoszą przemieszczenie w dowolnym punkcie elementu do przemieszczenia węzłów elementu. Wykres funkcji kształtu w stosunku do punktów na elemencie pokazuje zdeformowany „kształt” elementu, a tym samym nazwę funkcji kształtu.