Jak radzić sobie z zakrzywionym warunkiem brzegowym, stosując metodę różnic skończonych?

Próbuję dowiedzieć się o numerycznym rozwiązywaniu problemu PDE.

Od pewnego czasu zaczynam od metody różnic skończonych (FDM), ponieważ słyszałem, że FDM jest podstawą wielu metod numerycznych dla PDE. Do tej pory mam trochę podstawową wiedzę na temat FDM i byłem w stanie napisać kody dla jakiegoś prostego PDE leżącego w regularnym regionie z materiałami znalezionymi w bibliotece i Internecie, ale co dziwne, te materiały zwykle niewiele mówią o leczeniu nieregularne, zakrzywione, dziwnym granicy, jak ten .

Co więcej, nigdy nie widziałem łatwego sposobu radzenia sobie z zakrzywioną granicą. Na przykład książka Numeryczne rozwiązanie częściowych równań różniczkowych - wprowadzenie (Morton K., Mayers D) , która zawiera najbardziej szczegółową dyskusję (głównie w 3.4 z p71 i 6.4 z p199), którą do tej pory widziałam, zwróciła się do: ekstrapolacja, która jest dla mnie naprawdę nieporęczna i frustrująca.

Tak więc, jak pytał tytuł, jeśli chodzi o zakrzywioną granicę, zwykle jak ludzie sobie z tym radzą, używając FDM? Innymi słowy, jakie jest najbardziej popularne leczenie? Czy to zależy od rodzaju PDE?

Czy istnieje (przynajmniej względnie) elegancki i precyzyjny sposób radzenia sobie z zakrzywioną granicą? Czy to tylko nieunikniony ból?

Chcę nawet zapytać, czy ludzie używają obecnie FDM do zakrzywionej granicy? Jeśli nie, jaka jest najczęstsza metoda?

Każda pomoc będzie mile widziana.

pde finite-difference boundary-conditions

— xzczd
źródło

Odpowiedzi:

Odpowiadając najpierw na ostatnie pytanie, czy ludzie rzeczywiście używają FDM do zakrzywionej granicy w dzisiejszych czasach , powiedziałbym, że odpowiedź brzmi „nie”. W komercyjnym świecie kontraktów CFD dokładne schematy skończonej wielkości drugiego rzędu są de facto standardem branżowym. Jedną z zalet FV (i wspomnianego Jeda nieciągłego galerkina w stosunku do Jeda) nad FD jest znacznie bardziej naturalne zarządzanie złożonymi granicami. FD stanowi podstawę wielu metod numerycznych (w tym FV) i konieczne jest nauczenie się jako pierwszy krok, ale nie jest wskazane w przypadku złożonych problemów na dużą skalę.

$(x,y)$ $\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$ $\Delta \xi = \Delta \eta = constant$ . Następnie można ponownie napisać warunki takie jak

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial ξ} \frac{\partial ξ}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial η} \frac{\partial η}{\partial x}

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi} \frac{\partial \xi}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \eta} \frac{\partial \eta}{\partial x}$

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$ $u$

Powiedziałbym, że takie podejście do ciała dopasowanego do ciała jest „najbardziej popularnym zabiegiem” do radzenia sobie z zakrzywionymi granicami w FD, z zastrzeżeniem, że same metody FD nie są już „popularne” w przypadku złożonych aplikacji. Rzadko widuje się, że wciąż pojawiają się w literaturze dotyczącej CFD, z wyjątkiem bardzo prostych dziedzin.

— Aureliusz
źródło

Twoje stwierdzenie „Powiedziałbym, że odpowiedź brzmi„ nie ”jest nieprawidłowe. Visbal i Gaitonde pracują intensywnie z FD wyższego rzędu w kodzie FDL3DI . Ponadto kod OVERFLOW NASA jest kodem FD (o ile wiem / mogę powiedzieć).

— Brian Zatapatique,

OVERFLOW był pierwotnie czysto FD, ale teraz ogólnie wykorzystuje dzielenie strumienia FV (AUSM, HLLC itp., W Ch 1 twojego linku). Jest to również zdecydowanie „starszy” kod. Ten link FDL3DI powstał w latach 90., kiedy prace na wysokim poziomie oparte na elementach skończonych / DG były w powijakach i nie było żadnych realistycznych schematów objętości skończonych z dokładnością do rzędu. Myślę, że trudno byłoby przekonać kogoś w 2013 r. Do rozpoczęcia tworzenia kodu opartego na zwartej strategii różnic skończonych tej pracy. Choć jest elegancki, jest bardzo restrykcyjny dla aplikacji.

— Aurelius,

Nie zgadzam się z ogólnością twojego stwierdzenia, że nie zaleca się używania FD w przypadku złożonych problemów na dużą skalę. W dzisiejszych czasach ludzie w HPC mają tendencję do przekształcania swoich schematów elementów skończonych w sposób podobny do szablonu i wykorzystują (częściowo) ustrukturyzowane siatki, aby skutecznie wdrażać rozwiązania bez macierzy do obliczeń w ekstremalnej skali. Tak więc, mimo że są niemodne, ludzie nadal chcą używać różnic skończonych. Nie wspominając o tym, że istnieją aplikacje, w których można uciec od siatek strukturalnych. W przypadku skomplikowanych geometrii standardowy FD jest bolesny i może właśnie to chciałem powiedzieć.

— Christian Waluga,

W przypadku prostych, zakrzywionych geometrii, FD wyższego rzędu wygrywa z wyższą rzędu różnicą widmową / objętością, rekonstrukcją strumienia lub metodami DG pod względem wydajności (dokładność / czas). W przypadku skomplikowanych generowanie siatki może być dość kłopotliwe, aby skłonić Cię do wypróbowania alternatywnych metod. Nie należy zapominać, że bardzo duża elastyczność wyżej wymienionych metod wiąże się ze znacznymi kosztami, patrz ten artykuł autorstwa Loehnera . Jest to jeden z powodów, dla których FDL3DI i OVERFLOW nadal widzą użycie.

— Brian Zatapatique,

@ChristianWaluga tak, to w zasadzie to, co próbowałem powiedzieć. Oczywiście pomysły FD trafiają do innych aplikacji (np. Gradienty w FV są obliczane na podstawie różnic skończonych), a w niektórych obszarach, takich jak DNS na prostych geometriach, są używane. Ale w przypadku kodów ogólnego przeznaczenia trend w ciągu ostatnich 2 dekad był dość wyraźny z dala od czystego FD.

— Aurelius,

Zakrzywione granice są omówione w większości książek o CFD, np. Rozdział 11 Wesseling lub Rozdział 8 Ferziger i Peric .

Chociaż nie jest to podstawowy problem teoretyczny, praktyczna złożoność wdrażania warunków brzegowych dla metod wyższego rzędu na zakrzywionych granicach jest istotnym powodem zainteresowania bardziej elastycznymi geometrycznie metodami, takimi jak metoda elementów skończonych (w tym metoda nieciągłego Galerkina). Strukturalne różnice skończone i siatki skończonej objętości są nadal stosowane w niektórych symulacjach CFD, ale metody niestrukturalne zyskują popularność, a lokalne operacje stosowane przez niestrukturalne metody wyższego rzędu są w rzeczywistości dość wydajne, a zatem mogą nie ponieść znacznych strat wydajności w porównaniu z podobnymi FD metody (Rzeczywiście, elastyczność geometryczna często czyni je bardziej wydajnymi).

— Jed Brown
źródło

Świetna odpowiedź Jed. W mojej pracy magisterskiej p38-46 jest krok po kroku sposób leczenia nieregularnych BC w problemach z płynami . Szczerze mówiąc, jest to poważny ból A * #, aby to zrobić w preparatach FD. Ważnym spostrzeżeniem jest to, że zakrzywione BC mogą być aproksymowane przez dużą liczbę nieskończenie prostych.

— meawoppl,

Przez ostatnie n lat pracowałem nad precyzyjnym FDM. i wykorzystałem równanie elektrostatyczne -2 dim Laplace'a jako przykład do jawnego opracowania algorytmów o wysokiej precyzji. jeszcze około 4 lata temu problemy były konstruowane z poziomymi lub pionowymi liniami punktów potencjalnej nieciągłości. jeśli google moje imię i fdm wysokiej precyzji, należy znaleźć referencje. ale to nie twoje pytanie. twoje pytanie to fdm i zakrzywione granice. około rok temu przedstawiłem rozwiązanie 8 rzędu w Hongkongu (patrz Metoda różnic skończonych dla elektrostatycznych cylindrycznie symetrycznych elektrostatycznie z granicami krzywoliniowymi), który stworzył algorytmy rzędu 8 dla punktów wewnętrznych w pobliżu granicy, które wymagałyby oczywiście punktów po drugiej stronie granicy. punkty po drugiej stronie granicy zostały tam umieszczone, po prostu rozciągając siatkę na drugą stronę. po zrobieniu tego pytanie brzmiało, jak znaleźć wartości tych punktów podczas rozluźniania siatki. zostało to osiągnięte poprzez całkowanie od granicy (znanego potencjału) do punktu za pomocą algorytmów. było dość udane i dość dokładne ~ <1e-11, ALE wymagało 103 algorytmów, z których każdy został indywidualnie wykonany, i było nieco kruche, można było znaleźć niestabilne geometrie. Aby zaradzić powyższym problemom, znaleziono rozwiązanie (kolejność 8 i poniżej) przy użyciu (jednego!) minimalnego algorytmu, a rozwiązanie wykazuje znaczną niezawodność. został przesłany, ale będzie dostępny jako preprint przez wysłanie do mnie e-maila. Wierzę, że ta technika byłaby rozszerzalna na niezależne od czasu pde (wymagane liniowe) inne niż laplace i na wymiary większe niż 2. Nie rozważałem problemu zależnego od czasu, ale technika będąca techniką szeregów mocy powinna być przystosowalna i stosowana. David

— David
źródło

Jeśli możesz przesłać swój artykuł na serwer preprint (na przykład arXiv), a następnie link do niego tutaj, poprawi to twoją odpowiedź. Ogólnie rzecz biorąc, odpowiedzi nie powinny zawierać adresów e-mail. Zachęcam również do zwięzłości odpowiedzi.

— Geoff Oxberry,