Nieciągły Galerkin: Nodal vs Modal zalety i wady

Istnieją dwa ogólne podejścia do reprezentowania rozwiązań w nieciągłej metodzie Galerkina: węzłowy i modalny.

1. Modalne : Rozwiązania są reprezentowane przez sumę współczynników modalnych pomnożonych przez zbiór wielomianów, np. gdzie to zwykle wielomiany ortogonalne, np. Legendre . Jedną z zalet tego jest to, że wielomiany ortogonalne generują diagonalną macierz masy.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(t) \phi_i(x)$$\phi_i$

2. Węzłowy : Komórki składają się z wielu węzłów, na których zdefiniowane jest rozwiązanie. Rekonstrukcja komórki opiera się następnie na dopasowaniu interpolującego wielomianu, np. gdzie l i jest wielomianem Lagrange'a. Zaletą tego jest to, że możesz ustawić swoje węzły w punktach kwadraturowych i szybko ocenić całki.$u(x,t) = \sum_{i=1}^N u_i(x,t) l_i(x)$$l_i$

W związku z dużą skalę, złożonego ( - 10 9 DOFs) 3D mieszane strukturę / niestrukturalnych równoległe zastosowanie do celów elastyczności, przejrzystości realizacji i wydajności, co jest porównywalne zalety i wady każdej metody?$10^6$$10^9$

Jestem pewien, że jest już dobra literatura, więc jeśli ktoś mógłby wskazać mi coś, co również byłoby świetne.

Poniższe kompromisy dotyczą zarówno DG, jak i elementów widmowych (lub elementów skończonych -wersji).$p$

Zmiana kolejności elementu, podobnie jak w przypadku adaptivity, jest prostsza w przypadku baz modalnych, ponieważ istniejące funkcje bazowe nie ulegają zmianie. Zasadniczo nie ma to wpływu na wydajność, ale i tak niektórym się to podoba. Podstawy modalne można również filtrować bezpośrednio pod kątem niektórych technik antyaliasingu, ale nie jest to również wąskim gardłem w zakresie wydajności. Można również wybrać podstawy modalne, aby odsłonić rzadkość w elemencie dla operatorów specjalnych (zwykle macierzy Laplaciana i macierzy masy). Nie dotyczy to elementów o zmiennym współczynniku lub elementów nie-afinicznych, a oszczędności nie są ogromne w przypadku skromnego zamówienia zwykle stosowanego w 3D.$p$

Podstawy węzłowe uproszczenie definicji ciągłości elementów, uproszczenia realizacji warunków brzegowych, kontakt, i tym podobne, są łatwiejsze do wyznaczania miejsca, co prowadzi do lepszego $h$-liptyczność u dyskretnych operatorów (umożliwiając w ten sposób stosowanie tańszych środków wygładzających / kondycjonujących). Łatwiej jest również zdefiniować pojęcia używane przez solwery, takie jak tryby bryły sztywnej (wystarczy użyć współrzędnych węzłów), oraz zdefiniować niektórych operatorów transferu siatki, takich jak metody wielosiatkowe. Osadzone dyskretyzacje są również łatwo dostępne do wstępnego kondycjonowania, bez potrzeby zmiany podstawy. Dyskretyzacje węzłowe mogą efektywnie wykorzystywać skolokowaną kwadraturę (jak w przypadku metod z wykorzystaniem elementów widmowych), a odpowiadające jej niepełne zintegrowanie może być dobre dla oszczędzania energii. Sprzężenie międzyelementowe dla równań pierwszego rzędu jest rzadsze dla zasad węzłowych, chociaż zasady inaczej modalne są często modyfikowane w celu uzyskania tej samej rzadkości.

Byłem ciekawy odpowiedzi na to pytanie, ale jakoś nikt nie zawraca sobie głowy odpowiedzią ...

Jeśli chodzi o literaturę, bardzo podoba mi się książka Spectral / hp Element Methods for Computational Fluid Dynamics (teraz dostępna jest również tańsza wersja soft cover), a także książka Hesthaven i Warburton . Te dwa zawierają szczegółowe informacje, które pomogą ci wdrożyć metody. Książka Canuto, Hussaini, Quarteroni i Zang jest bardziej teoretyczna. Ten ma także drugi tom „Metody spektralne: ewolucja do skomplikowanych geometrii i zastosowania do dynamiki płynów”.

Nie pracuję nad metodami DG i nie jestem ekspertem w ocenie zalet węzłów w porównaniu z modalnością. Książka Karniadakis & Sherwin bardziej skupia się na metodach z ciągłymi rozszerzeniami modalnymi. W tego rodzaju metodzie musisz zmienić kolejność trybów w dwóch sąsiednich elementach w taki sposób, aby odpowiadające im tryby interfejsu pasowały do ​​siebie, aby zachować ciągłość globalnej ekspansji. Ponadto narzucenie warunków brzegowych wymaga dodatkowej uwagi, ponieważ tryby nie są powiązane z określoną lokalizacją na granicy.

Mam nadzieję, że ktoś zaznajomiony z tego rodzaju metodami doda więcej szczegółów.